Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 23 Отношение площадей треугольников с общим основанием (короткая версия)

Задание

Точка \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\) Найдите площадь треугольника \(\displaystyle AMC{\small,}\) если площадь треугольника \(\displaystyle ABC\) равна \(\displaystyle 22{\small.}\)

\(\displaystyle S_{\triangle AMC}=\)

Решение

\(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle M \in AB{\small,}\) \(\displaystyle AM=BM{\small;}\)
  • \(\displaystyle S_{\triangle ABC}=22{\small.}\)

Требуется найти площадь треугольника \(\displaystyle AMC{\small.}\)

 

Выполним дополнительное построение.

В треугольниках \(\displaystyle AMC\) и \(\displaystyle ABC\) проведём высоты \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle BH\) соответственно.

Так как у треугольников \(\displaystyle AMC\) и \(\displaystyle ABC\) общее основание \(\displaystyle AC{\small,}\) то

\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{MP}{BH}{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle \color{blue}{S_{\triangle AMC}=\frac{MP}{BH}\cdot S_{\triangle ABC}{\small.}}\)

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle AMP\) и \(\displaystyle ABH{\small.}\)

  • \(\displaystyle \angle MAP= \angle BAH\) – общий угол.

Следовательно, \(\displaystyle \triangle AMP \sim \triangle ABH\) по острому углу.

Значит,

\(\displaystyle \frac{MP}{BH}=\frac{AM}{AB}{\small.}\)

Так как точка \(\displaystyle M\) – середина \(\displaystyle AB{\small,}\) то

\(\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}{\small.}\)

Следовательно,

\(\displaystyle \frac{MP}{BH}=\frac{1}{2}{\small.}\)

 

В результате получаем:

\(\displaystyle S_{\triangle AMC}=\frac{MP}{BH}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} \cdot 22=11{\small.}\)

 

Ответ: \(\displaystyle S_{\triangle AMC}=11{\small.}\)