Точка \(\displaystyle M\) – середина стороны \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABC{\small.}\) Найдите площадь треугольника \(\displaystyle AMC{\small,}\) если площадь треугольника \(\displaystyle ABC\) равна \(\displaystyle 22{\small.}\)
\(\displaystyle S_{\triangle AMC}=\)
 | \(\displaystyle ABC\) – треугольник:
Требуется найти площадь треугольника \(\displaystyle AMC{\small.}\) |
 | В треугольниках \(\displaystyle AMC\) и \(\displaystyle ABC\) проведём высоты \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle BH\) соответственно. |
\(\displaystyle \frac{S_{\triangle AMC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{MP}{BH}{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \color{blue}{S_{\triangle AMC}=\frac{MP}{BH}\cdot S_{\triangle ABC}{\small.}}\)
 |
Следовательно, \(\displaystyle \triangle AMP \sim \triangle ABH\) по острому углу. Значит, \(\displaystyle \frac{MP}{BH}=\frac{AM}{AB}{\small.}\) |
Так как точка \(\displaystyle M\) – середина \(\displaystyle AB{\small,}\) то
\(\displaystyle \frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \frac{MP}{BH}=\frac{1}{2}{\small.}\)
В результате получаем:
\(\displaystyle S_{\triangle AMC}=\frac{MP}{BH}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} \cdot 22=11{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle S_{\triangle AMC}=11{\small.}\)