Точка \(\displaystyle O\) соединена отрезками с шестью точками \(\displaystyle A{\small ,\;}B{\small ,\;}C{\small ,\;}D{\small ,\;}E{\small ,\;}F\) прямой \(\displaystyle p{\small .}\) Один из них является перпендикуляром к этой прямой.
Длины отрезков известны:
\(\displaystyle AO=41{\small ,\;}~~BO=37{\small ,\;}~~CO=37{\small ,\;}~~DO=36{\small ,\;}~~EO=35{\small ,\;}~~FO=39{\small .}\)
\(\displaystyle ~~~~~1{\small .}\) Какой из отрезков является перпендикуляром?
\(\displaystyle ~~~~~2{\small .}\) В середине какого отрезка расположен один из концов этого перпенрдикуляра?
При вводе ответа помните, что точки обозначены заглавными латинскими буквами.
Перпендикуляр, опущенный на прямую из точки вне неё, короче любой наклонной к той же прямой, проведённой из той же точки.
На рисунке из точки \(\displaystyle A\) проведены наклонная \(\displaystyle AB\) и перпендикуляр \(\displaystyle AH\) к прямой \(\displaystyle p{\small .}\) Для их длин выполнено неравенство
\(\displaystyle AH<AB{\small .}\)
Неравенство перпендикуляра и наклонной можно рассматривать как частный случай применения правила о соотношении сторон и углов треугольника. Поскольку прямой угол \(\displaystyle AHB\) является наибольшим углом треугольника \(\displaystyle ABH{\small ,}\) напротив него расположена наибольшая сторона. Это как раз наклонная, которая, таким образом, больше перпендикуляра \(\displaystyle AH{\small .}\)
Полезны следующие две формулировки рассматриваемого утверждения:
- в прямоугольном треугольнике катет всегда короче гипотенузы;
- среди отрезков, соединяющих точку вне прямой с точками этой прямой, наименьшую длину имеет перпендикуляр.
Выбираем отрезок с наименьшей длиной. Это отрезок \(\displaystyle EO\) длиной \(\displaystyle 35{\small .}\)
Рассмотрим ситуацию, в которой перпендикуляр к прямой опускается в середину какого-либо отрезка этой прямой. Предположим, что перпендикуляр из точки \(\displaystyle O\) опускается в середину \(\displaystyle E\) отрезка \(\displaystyle MN\) этой прямой.
Тогда у прямоугольных треугольников \(\displaystyle EMO\) и \(\displaystyle ENO{\text :}\)
- есть общая сторона \(\displaystyle EO{\text ;}\)
- катеты \(\displaystyle EM\) и \(\displaystyle EN\) равны, так как \(\displaystyle E~-\) середина отрезка \(\displaystyle MN{\text ;}\)
- заключённые между равными сторонами (прямые) углы равны.
Значит, треугольники равны по первому признаку, и их гипотенузы равны:
\(\displaystyle MO=NO{\small .}\)
То есть наклонные, проведённые из точки \(\displaystyle O\) к концам отрезка, в середину которого опускается перпендикуляр, равны.
Среди данных задачи ищем две равных наклонных. Это отрезки \(\displaystyle OB\) и \(\displaystyle OC\) длиной \(\displaystyle 37{\small .}\)
Значит, перпендикуляр опускается в середину отрезка \(\displaystyle BC{\small .}\)
Ответ: искомый перпендикуляр \(\displaystyle -\) отрезок \(\displaystyle EO{\text ;}\) его основание \(\displaystyle E~-\) середина отрезка \(\displaystyle BC{\small .}\)