Канал шириной \(\displaystyle 10\)м делает поворот под прямым углом.
Определите, где должны располагаться мосты через канал, чтобы путь между точками \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) (выделен зеленым цветом) был самым коротким. В ответе запишите длину этого пути.
Обозначим концы мостов точками \(\displaystyle M,\,N,\,K\) и \(\displaystyle L\small.\)
Тогда весь путь из деревни \(\displaystyle A\) в деревню \(\displaystyle B\) равен:
\(\displaystyle AM+MN+NK+KL+LB\small.\)
Необходимо найти расположение мостов \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle KL\small,\) при котором сумма \(\displaystyle AM+MN+NK+KL+LB\) будет минимальной.
Отметим, что вне зависимости от расположения мостов длины \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle KL\) не меняются.
То есть необходимо найти минимальную сумму \(\displaystyle AM+NK+LB\small.\)
Чтобы это сделать, сместим отрезки так, чтобы они образовывали одну ломаную.
Выполним параллельный перенос отрезка \(\displaystyle AM\) на вектор \(\displaystyle MN\small.\) А отрезок \(\displaystyle LB\) параллельно перенесем на вектор \(\displaystyle LK\small.\)
Тогда
\(\displaystyle AM+NK+LB=A_1N+NK+KB_1\small.\)
По неравенству треугольника:
\(\displaystyle A_1N+NK+KB_1\geqslant A_1B_1\small.\)
\(\displaystyle A_1B_1=150\)м.
Тогда минимальное значение суммы длин \(\displaystyle AM+NK+LB\) равно \(\displaystyle 150\)м.
А минимальное значение длины всего пути:
\(\displaystyle \begin{aligned} AM+MN+NK+KL+LB=(AM+NK+LB)&+MN+KL=\\&=150+10+10=170\text{ \footnotesize м.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 170\)м.