Длины сторон треугольника \(\displaystyle ABC\) равны \(\displaystyle AB=4,\,BC=5\) и \(\displaystyle AC=6\small.\) Центр описанной окружности – точку \(\displaystyle O\) – отразили относительно сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\small,\) соответственно получив точки \(\displaystyle B_1\) и \(\displaystyle C_1\small.\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle B_1C_1\small.\)
Чтобы решить задачу:
- найдем как можно больше отрезков, равных радиусу описанной окружности;
- докажем, что треугольники \(\displaystyle AB_1C_1\) и \(\displaystyle OBC\) равны.
1. Обозначим радиус описанной окружности \(\displaystyle R\small.\) Поскольку \(\displaystyle O\) – центр описанной окружности треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) то \(\displaystyle AO=BO=CO=R\small.\) Теперь заметим, что поскольку точка \(\displaystyle B_1\) симметрична точке \(\displaystyle O\) относительно \(\displaystyle AB\small,\) то \(\displaystyle AB_1=AO=R\) и \(\displaystyle BB_1=BO=R\small.\) Аналогично, точка \(\displaystyle C_1\) симметрична точке \(\displaystyle O\) относительно \(\displaystyle AC\small,\) значит, \(\displaystyle AC_1=AO=R\) и \(\displaystyle CC_1=CO=R\small.\) |
|
2. Теперь докажем, что треугольники \(\displaystyle AB_1C_1\) и \(\displaystyle OBC\) равны. У треугольников \(\displaystyle AB_1C_1\) и \(\displaystyle OBC\) есть две пары равных сторон:
Остается показать, что равны углы \(\displaystyle C_1AB_1\) и \(\displaystyle COB\small.\) |  |
Углы \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle BOC\) опираются на одну дугу описанной окружности треугольника \(\displaystyle ABC\small.\) При этом \(\displaystyle \angle BAC\) – вписанный, а \(\displaystyle \angle BOC\) – центральный. Центральный угол вдвое больше вписанного, то есть \(\displaystyle \angle BOC=2\angle BAC\small.\) |  |
Также отметим, что поскольку точка \(\displaystyle B_1\) симметрична точке \(\displaystyle O\) относительно \(\displaystyle AB\small,\) то \(\displaystyle \angle B_1AB=\angle OAB\small.\) Точка \(\displaystyle C_1\) симметрична точке \(\displaystyle O\) относительно \(\displaystyle AC\small,\) значит, \(\displaystyle \angle C_1AC=\angle OAC\small.\) |  |
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned} \angle B_1AC_1&=\angle B_1AB+\angle BAO+\angle OAC+\angle CAC_1=\\&=2(\angle OAB+\angle OAC)=2\angle BAC\small.\end{aligned}\)
Таким образом, получаем, что
\(\displaystyle \angle BOC=\angle B_1AC_1=2\angle BAC\small.\)
Тогда треугольники \(\displaystyle AB_1C_1\) и \(\displaystyle OBC\) равны по двум сторонам и углу между ними.
Значит,
\(\displaystyle B_1C_1=BC=5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle B_1C_1=5\small.\)