Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Свойство и признак касательной к окружности (короткая версия)

Задание

Прямая \(\displaystyle AB\) касается окружности с центром \(\displaystyle O\) в точке \(\displaystyle B{\small .}\) Отрезок \(\displaystyle AB\) равен отрезку \(\displaystyle AC{\small ,}\) соединяющему один из его концов с точкой на этой окружности.

Дополните обоснованиями последовательность утверждений, доказывающую, что прямая \(\displaystyle AC\) также является касательной к этой окружности.

\(\displaystyle 1{\small .}~~OC=OB~\) Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 2{\small .}~~{\bf\triangle}ABO={\bf\triangle}ACO~\) Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 3{\small .}~~OB \perp AB~\) Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 4{\small .}~~OC \perp AC~\) Перетащите сюда правильный ответ

\(\displaystyle 5{\small .}~~AC~\)касается окружности  Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Восстановим доказательство по пунктам.

1. Отрезки \(\displaystyle BO\) и \(\displaystyle CO\) равны, так как являются радиусами одной окружности.

Дополним рисунок отрезками \(\displaystyle BO\) и \(\displaystyle CO{\small .}\)

Это \(\displaystyle -\) по определению равные радиусы одной окружности:

\(\displaystyle BO=CO{\small .}\)

2. Треугольники \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle ACO\) равны по трём сторонам (третьему признаку равенства треугольников).

Рассмотрим треугольники \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle ACO{\small :}\)

  • сторона \(\displaystyle AO\) общая;
  • стороны \(\displaystyle CO\) и \(\displaystyle BO\) равны как радиусы одной окружности;
  • стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) равны по условию задачи.

Треугольники \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle ACO\) равны по трём сторонам.

3. Радиус \(\displaystyle OB{\small ,}\) проведённый в точку касания с окружностью прямой \(\displaystyle AB{ \small ,}\) перпендикулярен этой прямой.

Прямая \(\displaystyle AB\) касается окружности в точке \(\displaystyle B{\small .}\)

Этой прямой по свойству касательной перапендикулярен радиус \(\displaystyle OB{\small ,}\) проведённый в точку касания.

Значит,

\(\displaystyle OB \perp AB{\small .}\) 

4. В равных треугольниках \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle ACO\) равны углы, противолежащие общей стороне \(\displaystyle AO{\small .}\)

В равных треугольниках равны углы, расположенные напротив равных сторон.

В треугольниках \(\displaystyle ABO\) и \(\displaystyle ACO\) углы \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) расположены напротив общей стороны \(\displaystyle AO {\text :}\)

\(\displaystyle \angle ACO=\angle ABO=90\degree {\small .}\)

Значит, 

\(\displaystyle OC \perp AC{\small .}\)

5. Прямая \(\displaystyle AC\) касается окружности в точке \(\displaystyle C{\small .}\)

Радиус \(\displaystyle OC\) перпендикулярен прямой \(\displaystyle AC{\small ,}\) проходящей через точку \(\displaystyle C{\small .}\)

Если радиус окружности является перпендикуляром к прямой, не проходящей через её центр, то эта прямая касается окружности.

Согласно признаку касательной, прямая \(\displaystyle AC\) касается рассматриваемой окружности.

Ответ: