Диагонали ромба равны \(\displaystyle 30\) и \(\displaystyle 40{\small.}\) Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
 | Пусть \(\displaystyle ABCD\) – описанный вокруг окружности ромб:
Требуется найти радиус \(\displaystyle \color{red}{r}\) окружности, вписанной в ромб. |
\(\displaystyle S=p \cdot r {\small,}\)
где \(\displaystyle S\) – площадь ромба,
\(\displaystyle p\) – половина периметра ромба,
\(\displaystyle r\) – радиус вписанной окружности.
Следовательно,
\(\displaystyle r=\frac{S}{p}{\small.}\)
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}\ AC \cdot BD{\small.}\)
То есть
\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{1}{2}\ 30 \cdot 40=600{\small.}\)
Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как стороны ромба равны, то
\(\displaystyle P_{ABCD}=4AB{\small.}\)
Тогда половина периметра:
\(\displaystyle p=2AB{\small.}\)
Найдем длину стороны ромба.
 |
\(\displaystyle AO=AC:2=30:2=15{\small,}\) \(\displaystyle BO=BD:2=40:2=20{\small.}\)
\(\displaystyle AB^2=AO^2+BO^2{\small;}\) \(\displaystyle AB^2=15^2+20^2=225+400=625{\small.}\) Так как длина отрезка неотрицательна, то \(\displaystyle AB=25{\small.}\) |
Значит,
\(\displaystyle p=2AB=2 \cdot 25=50{\small.}\)
Подставим в формулу радиуса вписанной окружности \(\displaystyle S=600{\small,}\) \(\displaystyle p=50{\small:}\)
\(\displaystyle r=\frac{S}{p}=\frac{600}{50}=12{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 12{\small.}\)