Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 10 Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Задание

Сторона \(\displaystyle AB\) остроугольного треугольника \(\displaystyle ABC\) расположена на отрезке \(\displaystyle DE{\small .}\) Проведена медиана \(\displaystyle CF\) этого треугольника.

Требуется построить треугольник, у которого:

  • сторона в два раза короче отрезка \(\displaystyle AB{\text ;}\)
  • один из прилежащих к этой стороне углов в два раза меньше угла при вершине \(\displaystyle B\) исходного треугольника;
  • величина другого прилежащего к той же стороне угла равна сумме величин углов при вершинах \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) исходного треугольника.

Дополните описание одного из возможных построений.

\(\displaystyle 1{\small .}\)

Построить \(\displaystyle BG\) треугольника \(\displaystyle BCF{\small .}\)

\(\displaystyle 2{\small .}\)Отложить угол, равный углу  от луча 
\(\displaystyle 3{\small .}\)Общая точка \(\displaystyle H\) стороны отложенного угла и луча \(\displaystyle BG\) является третьей вершиной искомого треугольника 
BFH
 

 

Решение

Требования к элементам искомого треугольника относятся к стороне и двум прилежащим к ней углам. Используем правило построения треугольника по этим элементам.

построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Если нужно построить треугольник с данной стороной \(\displaystyle AB\) и прилежащими к ней углами, равными двум данным углам, то выполняют следующие действия:

     Поскольку медиана треугольника делит его сторону на два равных отрезка, обе части \(\displaystyle AF\) и \(\displaystyle BF\) в два раза короче отрезка \(\displaystyle AB{\small .}\)

     Значит, стороной искомого треугольника может быть любой из этих отрезков.

 

 

     Если в первом пункте построения выбрать биссектрису треугольника \(\displaystyle BCF{\small ,}\) то угол, в два раза меньший угла при вершине \(\displaystyle B\) треугольника \(\displaystyle ABC{ \small ,}\) будет отложен от луча \(\displaystyle BF{\small .}\)

     Это соответствует одному из требований условия, если рассматривать в качестве стороны искомого треугольника отрезок \(\displaystyle BF{\small .}\)

 

 

     Во втором пункте тогда следует отложить от луча \(\displaystyle FE\) угол, величина которого равна сумме величин углов \(\displaystyle BAC\) и \(\displaystyle BCA{\small .}\)

Величина внешнего угла треугольника равна сумме величин несмежных с ним углов треугольника.

     Значит, от луча \(\displaystyle FE\) следует откладывать угол, равный углу \(\displaystyle CBE{\small .}\)

 

 

     Треугольник \(\displaystyle BFH{\small ,}\) вершина \(\displaystyle H\) которого находится на пересечении стороны отложенного угла и луча \(\displaystyle BG{\small ,}\) удовлетворяет требованиям условия.


 

Ответ: