В треугольнике \(\displaystyle ABC\) проведены высоты \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle CC_1\small.\) Найдите \(\displaystyle B_1C_1\small,\) если \(\displaystyle \angle A = 60^{\circ}\) и \(\displaystyle BC = 6\small.\)
Поскольку сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) то \(\displaystyle \angle ACC_1=\angle ABB_1=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\small.\)
В прямоугольном треугольнике с острыми углами \(\displaystyle 30^{\circ}\) и \(\displaystyle 60^{\circ}\) катет, лежащий, напротив угла в \(\displaystyle 30^{\circ}\small,\) вдвое меньше гипотенузы. То есть \(\displaystyle AC_1=\frac{1}{2}AC\) и \(\displaystyle AB_1=\frac{1}{2}AB\small.\) |  |
Значит, треугольники \(\displaystyle B_1AC_1\) и \(\displaystyle BAC\) подобны:
\(\displaystyle \begin{cases}\angle A - {\footnotesize \text{общий}},\\[5px]\dfrac{AC_1}{AC}=\dfrac{AB_1}{AB}=\dfrac{1}{2}\small.\end{cases}\)
Следовательно,
\(\displaystyle \frac{B_1C_1}{BC}=\frac{1}{2}\small.\)
Найдём значение \(\displaystyle B_1C_1{\small:}\)
\(\displaystyle B_1C_1=\frac{1}{2} \cdot BC=\frac{1}{2}\cdot6=3\small.\)
Ответ: \(\displaystyle B_1C_1=3\small.\)