Обозначим основания перпендикуляров \(\displaystyle A_1\) и \(\displaystyle B_1\small.\) Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними. И вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Тогда \(\displaystyle \angle A_1CA =\frac{1}{2}{\small \smile}{AC}=\angle ABC\small,\) \(\displaystyle \angle B_1CB =\frac{1}{2}{\small \smile}{BC}=\angle BAC\small.\)

Следовательно,

• прямоугольные треугольники \(\displaystyle A_1CA\) и \(\displaystyle CBA\) подобны по острому углу,
• прямоугольные треугольники \(\displaystyle B_1CB\) и \(\displaystyle ACB\) подобны по острому углу.

Обозначим стороны \(\displaystyle AC,\,BC\) и \(\displaystyle AB\) за \(\displaystyle x,\,y\) и \(\displaystyle z\) соответственно. И запишем соотношения для пропорциональных сторон.

Из подобия треугольников \(\displaystyle A_1CA\) и \(\displaystyle CBA\) получаем:

\(\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{x}{z}\small,\) откуда, \(\displaystyle x^2=az\small.\)

Из подобия треугольников \(\displaystyle B_1CB\) и \(\displaystyle ACB\) получаем:

\(\displaystyle \frac{b}{y}=\frac{y}{z}\small,\) откуда, \(\displaystyle y^2=bz\small.\)

Тогда, с одной стороны

\(\displaystyle x^2+y^2=az+bz=z(a+b)\small.\)

С другой стороны, по теореме Пифагора для треугольника \(\displaystyle ABC{\small:}\)

\(\displaystyle x^2+y^2=z^2\small.\)

Отсюда находим \(\displaystyle z{\small:}\)

\(\displaystyle x^2+y^2=z(a+b)=z^2\small,\)

\(\displaystyle z=a+b\small.\)

Подставляя выражение для \(\displaystyle z\small,\) получаем:

• \(\displaystyle x^2=az=a(a+b)\) и \(\displaystyle x=\sqrt{a(a+b)}\small,\)
• \(\displaystyle y^2=bz=b(a+b)\) и \(\displaystyle y=\sqrt{b(a+b)}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle AC=\sqrt{a(a+b)}\) и \(\displaystyle BC=\sqrt{b(a+b)}\small.\)