Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины боковых сторон и касается меньшего основания. Найдите больший угол трапеции.
| Точка \(\displaystyle K\) – точка касания окружности меньшего основания. |  |
Отметим центр окружности, который является серединой диаметра \(\displaystyle AD\small.\)
Радиусы окружности равны: \(\displaystyle AO=MO=KO=NO=DO\small.\) Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. То есть отрезок \(\displaystyle BC\) перпендикулярен \(\displaystyle OK\small.\) Поскольку \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) параллельны, то отрезок \(\displaystyle OK\) перпендикулярен и \(\displaystyle AD\small.\) |  |
Проведем среднюю линию трапеции \(\displaystyle MN\small.\) Средняя линия трапеции параллельна основаниям, значит, отрезок \(\displaystyle OK\) также перпендикулярен \(\displaystyle MN\small.\)
Так как
то по теореме Фалеса отрезок \(\displaystyle OK\) делится прямой \(\displaystyle MN\) пополам. Обозначим середину \(\displaystyle OK\) за \(\displaystyle X\small.\) |  |
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle OMX\small.\) В этом треугольнике катет \(\displaystyle OX\) равен половине радиуса и, соответственно, в два раза меньше гипотенузы \(\displaystyle OM\small.\) Тогда это прямоугольный треугольник с острыми углами \(\displaystyle 30^{\circ}\) и \(\displaystyle 60^{\circ}{\small:}\) \(\displaystyle \angle XMO=30^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle MOX=60^{\circ}\small.\) |  |
Теперь найдем углы трапеции. Прямые \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AD\) параллельны, тогда накрест лежащие углы равны: \(\displaystyle \angle MOA=\angle NMO=30^{\circ}\small.\) Сумма углов треугольника \(\displaystyle AMO\) равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small.\) При этом \(\displaystyle AO=MO\small,\) а значит равны и углы при основании: \(\displaystyle \angle MAO=\angle AMO=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}\small.\) |  |
Прямые \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle BC\) параллельны, тогда сумма односторонних углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\)
\(\displaystyle \angle CBA=180^{\circ}-\angle BAD=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}\small.\)
Аналогично получается, что два других угла трапеции тоже \(\displaystyle 75^{\circ}\) и \(\displaystyle 105^{\circ}\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 105^{\circ}\small.\)