Точки \(\displaystyle P{\small ,\;}Q\) и \(\displaystyle R\) являются общими точками треугольника \(\displaystyle ABC\) со вписанной в него окружностью.
Дополните описание одного из возможных построений треугольника \(\displaystyle ABC{\small .}\)
| \(\displaystyle 1{\small .}\) | В треугольнике \(\displaystyle PQR{\text :}\) - к сторонам - их общие точки с этими сторонами соответственно обозначаем \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle M{\text ;}\) - точку их пересечения обозначаем \(\displaystyle O{\small .}\) |
| \(\displaystyle 2{\small .}\) | Проводим прямую Строим перпендикулярную ей прямую \(\displaystyle l{\small ,}\) проходящую через точку \(\displaystyle R{\small .}\) |
| \(\displaystyle 3{\small .}\) | Находим точки пересечения прямой \(\displaystyle l\) с прямыми Обозначаем их соответственно как вершины \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) искомого треугольника. |
| \(\displaystyle 4{\small .}\) | Находим точку пересечения прямых Это \(\displaystyle -\) третья вершина \(\displaystyle C\) искомого треугольника. |
Представив себе, что треугольник \(\displaystyle ABC\) построен, впишем в него окружность. По условию, точки её касания со сторонами треугольника \(\displaystyle -\) точки \(\displaystyle P{\small ,\;}Q\) и \(\displaystyle R{\small .}\) Поскольку окружность проходит через эти три точки, она является описанной около треугольника \(\displaystyle PQR{\small .}\) |  |
Центр описанной окружности треугольника \(\displaystyle -\) точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Таким образом, есть возможность построить центр вписанной окружности искомого треугольника. Для этого следует построить серединные перпендикуляры к двум любым сторонам треугольника \(\displaystyle PQR{\small .}\) Среди предложенных вариантов находим для этой цели пару сторон \(\displaystyle PR\) и \(\displaystyle QR{\small .}\) |  |
На рисунке три радиуса \(\displaystyle OP{\small ,\;}OQ\) и \(\displaystyle OR\) вписанной в искомый треугольник окружности. Радиус окружности, проведённый в точку её касания с прямой, перпендикулярен касательной. Значит, стороны треугольника проходят через концы радиусов \(\displaystyle OP{\small ,\;}OQ\) и \(\displaystyle OR\) и перпендикулярны им.
|  |
Таким же образом можно было бы получить и прямые, содержащие другие стороны. Но в описываемом построении сделано иначе.
Вернёмся к чертежу уже построенного треугольника \(\displaystyle ABC\) со вписанной в него окружностью. Отрезки проведённых из одной точки касательных к одной окружности от этой точки до точек касания равны. В нашем случае равны, например, отрезки \(\displaystyle AQ\) и \(\displaystyle AR\small.\) Это значит, что вершина \(\displaystyle A\) равноудалена от концов отрезка \(\displaystyle QR{\small .}\) Значит, она принадлежит серединному перпендикуляру \(\displaystyle MO\) к этому отрезку. Аналогично, вершина \(\displaystyle B\) равноудалена от концов отрезка \(\displaystyle PR{\small ,}\) а значит, принадлежит серединному перпендикуляру \(\displaystyle ON\) к нему. |  |
Получается, вершины искомого треугольника можно найти как точки пересечения прямой \(\displaystyle l\) с прямыми \(\displaystyle OM\) и \(\displaystyle ON{\small .}\) Это позволяет заполнить третий пункт описания построения. |  |
По сделанным по ходу построения обозначениям получается, что точка \(\displaystyle Q\) принадлежит стороне \(\displaystyle AC{\small ,}\) а точка \(\displaystyle P\) принадлежит стороне \(\displaystyle BC\) искомого треугольника. Значит, вершина \(\displaystyle C\) может быть найдена на пересечении прямых \(\displaystyle AQ\) и \(\displaystyle BP\). Соответствующий фрагмент окончательно дополняет описание. |  |
| Ответ: |  |