Прямая \(\displaystyle AB\) пересекает стороны угла \(\displaystyle KLM\) в точках \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q{\small .}\)
Каким из перечисленных лучей принадлежит центр вневписанной окружности треугольника \(\displaystyle LPQ{\small ,}\) касающейся его стороны \(\displaystyle PQ\,{\text ?}\)
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других сторон этого треугольника.
На рисунке вневписанная окружность треугольника \(\displaystyle ABC\) касается стороны \(\displaystyle BC\) этого треугольника и продолжений сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC{\small .}\)
Радиусы этой окружности, проведённые к содержащим стороны треугольника прямым, перпендикулярны этим прямым. Поскольку они являются равными перпендикулярами к трём прямым, расстояния от центра вневписанной окружности до прямых, содержащих стороны треугольника, равны.
Помним, что равноудалённые от сторон угла точки его внутренней области расположены на биссектрисе угла. Получается, что центр этой вневписанной окружности принадлежит биссектрисам двух внешних углов треугольника при вершинах \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small ,}\) а также биссектрисе угла треугольника при вершине \(\displaystyle A{\small .}\)
Аналогично можно построить вневписанные окружности, которые касаются сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC{\small .}\) То есть для любого треугольника можно построить три вневписанные окружности.
Проводим на рисунке подходящие биссектрисы:
- биссектрисы внешних углов треугольника \(\displaystyle LPQ\) при вершинах \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle Q{\small ;}\)
- биссектриса угла треугольника при вершине \(\displaystyle L{\small .}\)
Из трёх углов рисунка, биссектрисы которых проходят через центр рассматриваемой окружности, среди предложенных вариантов находим обозначения двух: угла \(\displaystyle PLQ\) и угла \(\displaystyle KPQ{\small .}\)
Остальные предложенные варианты биссектрис углов не подходят. Это легко проверить даже схематично изобразив эти лучи на рисунке.
Ответ: центр вневписанной окружности треугольника \(\displaystyle LPQ\), касающейся стороны \(\displaystyle PQ{\small ,}\) принадлежит биссектрисам углов \(\displaystyle PLQ\) и \(\displaystyle KPQ{\small .}\)