Одна из вневписанных окружностей треугольника \(\displaystyle ABC\) касается его стороны \(\displaystyle BC\) в точке \(\displaystyle F{\small .}\)
Обозначим длины сторон треугольника:
\(\displaystyle BC=a{\small ,\;}AC=b\) и \(\displaystyle AB=c{\small .}\)
Выразите длину отрезка \(\displaystyle BF{\small .}\)
Точки касания окружности с продолжениями сторон \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle AB\) треугольника \(\displaystyle ABC \) обозначим соответственно \(\displaystyle L\) и \(\displaystyle K{\small .}\)
Отрезки проведённых к одной окружности из одной точки касательных от этой точки до точки касания равны.
На рисунке находим три пары равных отрезков касательных:
\(\displaystyle AK=AL{\small ,}\) \(\displaystyle BF=BK{\small ,}\) \(\displaystyle CF=CL{\small .}\)
Выразим искомую длину отрезка через длину отрезка \(\displaystyle AK{\text :}\)
\(\displaystyle BF=BK=AK-AB=AK-c\small.\)
В полученном равенстве заменим длину отрезка \(\displaystyle AK\) длиной равного ему отрезка \(\displaystyle AL{\text :}\)
\(\displaystyle BF=AL-c{\small .}\)
Длина \(\displaystyle AL\) складывается из длин \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle CL{\text :}\)
\(\displaystyle BF=AC+CL-c=b+CL-c{\small .}\)
Заменим длину \(\displaystyle CL\) равной ей длиной \(\displaystyle CF{\text :}\)
\(\displaystyle BF=b+CF-c{\small .}\)
Длина отрезка \(\displaystyle CF\) выражается через длину \(\displaystyle a\) стороны \(\displaystyle BC\) и искомую длину:
\(\displaystyle BF=b+a-BF-c{\small .}\)
Переносим в одну часть равенства длину \(\displaystyle BF\) и выражаем её, разделив обе части равенства на два:
\(\displaystyle BF=\frac{a+b-c}{2}\)
Ответ: \(\displaystyle BF=\frac{a+b-c}{2}\)