Решите уравнение (если решений нет, то оставьте ячейки ввода пустыми):
\(\displaystyle x^4=81\)
\(\displaystyle x_1=\)
\(\displaystyle x_2=\)
Воспользуемся правилом.
Уравнение \(\displaystyle x^4=a\)
- имеет два решения, если \(\displaystyle a>0{\small :}\)
\(\displaystyle x= \sqrt[4]{a}\) или \(\displaystyle x= -\sqrt[4]{a} \,{\small ; } \)
- имеет одно решение (два совпадающих решения), если \(\displaystyle a= 0{\small :}\)
\(\displaystyle x=0 {\small ; }\)
- не имеет решений, если \(\displaystyle a<0{\small .}\)
Так как \(\displaystyle 81>0{ \small ,}\) то уравнение \(\displaystyle x^4=81\) имеет два решения:
\(\displaystyle x_1=\sqrt[4]{81}{\small ,}\) следовательно, \(\displaystyle x_1=3\)
и
\(\displaystyle x_2=-\sqrt[4]{81}{\small ,}\) следовательно, \(\displaystyle x_2=-3{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=-3{\small .}\)
Так как \(\displaystyle x^4=\left( x^2\right)^2{\small ,}\) то можно сделать замену
\(\displaystyle t=x^2{\small. }\)
Заметим, что так как \(\displaystyle x^2 \geqslant 0{\small ,}\) то \(\displaystyle t \geqslant 0{\small.}\)
Перепишем уравнение \(\displaystyle x^4=81\) через переменную \(\displaystyle t{\small. }\)
Тогда \(\displaystyle x^4=\left( x^2\right)^2=t^2\) и
\(\displaystyle x^4=81\) можно переписать как \(\displaystyle t^2=81{\small .}\)
Решим квадратное уравнение \(\displaystyle t^2=81\) при условии \(\displaystyle t \geqslant 0{\small.}\)
\(\displaystyle t_1=\sqrt{81}{\small ,}\) следовательно, \(\displaystyle t_1=9\)
и
\(\displaystyle t_2=-\sqrt{81}{\small ,}\) следовательно, \(\displaystyle t_2=-9{\small .}\)
Решение \(\displaystyle t_2=-9\) не удовлетворяет условию \(\displaystyle t \geqslant 0{\small.}\)
Таким образом, в действительных числах, уравнение \(\displaystyle x^4=81\) равносильно уравнению \(\displaystyle t=9{\small ,}\) где \(\displaystyle t=x^2{\small .}\)
Далее решим уравнение \(\displaystyle x^2=9{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=\sqrt{9}{\small ,}\) следовательно, \(\displaystyle x_1=3\)
и
\(\displaystyle x_2=-\sqrt{9}{\small ,}\) следовательно, \(\displaystyle x_2=-3{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x_1=3\) и \(\displaystyle x_2=-3{\small .}\)