Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle x^2+3x+10\le 0{\small .} \)

Для параболы \(\displaystyle y=x^2+3x+10 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y\le 0{\small .} \)

То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как ниже оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.

Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат как ниже точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) так  и на самой оси.

Значит, для решения неравенства \(\displaystyle x^2+3x+10\le 0 \) надо:

• найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle x^2+3x+10=0{\small ;} \)
• начертить график параболы \(\displaystyle y=x^2+3x+10 \) с учетом найденных точек пересечения;
• записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих как ниже оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.

Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение

\(\displaystyle x^2+3x+10=0{\small .} \)

Найдем дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=3^2-4\cdot 1\cdot 10{\small ; } \)

\(\displaystyle {\rm D}=-31<0{\small . } \)

Поскольку дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных решений, а парабола не имеет точек пересечения  с осью \(\displaystyle \rm OX \) и целиком лежит выше оси \(\displaystyle \rm OX{\small .} \)

Начертим график параболы:

Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как ниже оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней:

Таких точек нет.

Значит, неравенство не имеет решений.

Ответ: \(\displaystyle \emptyset{\small .} \)