Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:

\(\displaystyle x^2+24\geqslant10x{\small ,}\)

\(\displaystyle x^2-10x+24\geqslant 0{\small .}\)

Далее найдем все корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2-10x+24=0{\small .}\)

Отметим закрашенными (так как знак неравенства нестрогий) точками найденные корни на числовой прямой:

Получаем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;4){ \small ,} \, (4;6)\) и \(\displaystyle (6;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+24\) в каждом из данных интервалов.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;4)\) выберем \(\displaystyle x=3 \in (-\infty;4){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=3{ \small :}\)

\(\displaystyle f(3)=3^2-10\cdot3+24=9-30+24>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;4){\small :}\)

Для интервала \(\displaystyle (4;6)\) выберем \(\displaystyle x=5 \in (4;6){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=5 { \small :}\)

\(\displaystyle f(5)=5^2-10\cdot5+24=25-50+24<0{\small .}\)

Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (4;6){\small :}\)

Для интервала \(\displaystyle (6;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=7 \in (6;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=7 { \small :}\)

\(\displaystyle f(7)=7^2-10\cdot7+24=49-70+24>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (6;+\infty){\small :}\)

Так как решения неравенства  \(\displaystyle x^2-10x+24\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2-10x+24\) положительна, и включают граничные точки , то

\(\displaystyle (-\infty;4] \cup [6;+\infty)\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;4]\cup[6;+\infty){\small .}\)