Заметим, что гипербола \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\) проходит через точку \(\displaystyle (5;\, 1){\small.}\)

Значит, если подставим в уравнение гиперболы \(\displaystyle \color{green}{x=5}\) и  \(\displaystyle \color{blue}{y=1}{\small,}\) то получим верное равенство:

\(\displaystyle \color{blue}{1}=\frac{k}{\color{green}{5}}{\small.}\)

Откуда находим \(\displaystyle k{\small:}\)

\(\displaystyle {1}=\frac{k}{{5}} \,\,\Big|\cdot 5{\small,}\)

\(\displaystyle 5=k{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle k=5{\small.}\)