Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Вычитание дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (разложение на множители)

Задание

Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой  знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

\(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}\,=\)
 

 

Решение

В выражении \(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Воспользуемся определением.

Определение

Наименьший общий знаменатель

Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.

То есть требуется найти наименьшее число (НОК), которое делится на \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255{\small .}\)

Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255\) на простые множители.


Разложим на простые множители число \(\displaystyle 136{\small .}\)

Воспользуемся признаком делимости на \(\displaystyle 2{\small .}\)

Последовательно получаем:

\(\displaystyle 136=2\cdot 68\)

\(\displaystyle 136=2\cdot 68=2\cdot 2\cdot 34\)

\(\displaystyle 136=2\cdot 68=2\cdot 2\cdot 34=2\cdot 2\cdot 2\cdot 17\)

Так как число \(\displaystyle 17\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 136\) на простые множители завершено. 

В итоге имеем:

\(\displaystyle 136=2\cdot 68=2\cdot 2 \cdot 34 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 17=2^3\cdot 17{\small .}\)


Разложим на простые множители число \(\displaystyle 255{\small .}\) Воспользуемся признаками делимости на \(\displaystyle 3\) и на \(\displaystyle 5{\small .}\)

Последовательно получаем:

\(\displaystyle 255=3\cdot 85\)

\(\displaystyle 255=3\cdot 85=3\cdot 5\cdot 17\)

Так как число \(\displaystyle 17\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 255\) на простые множители завершено. 

В итоге имеем:

\(\displaystyle 255=3\cdot 85=3\cdot 5 \cdot 17{\small .}\)

Получили разность дробей:

\(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}=\frac{97}{2^3\cdot 17}-\frac{47}{3\cdot 5 \cdot 17}{\small .}\)


Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 136\) и \(\displaystyle 255{\small .}\)

\(\displaystyle НОК(136, 255)=НОК(2^3\cdot 17, 3\cdot 5 \cdot 17)=2^3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 17{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 17\) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{97}{136}\) и \(\displaystyle \frac{47}{255}{\small .}\)

 

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 17{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{97}{136}=\frac{97}{2^3\cdot 17} \longrightarrow \frac{97\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}}{2^3\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}\cdot 17}{ \small ,}\\[10px]\frac{47}{255}=\frac{47}{3\cdot 5 \cdot 17} \longrightarrow \frac{47\cdot \color{green}{ 2^3}}{\color{green}{ 2^3}\cdot 3\cdot 5\cdot 17}{\small .}\end{aligned}\)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{97}{136}-\frac{47}{255}=\frac{97}{2^3\cdot 17}-\frac{47}{3\cdot 5 \cdot 17}=\frac{97\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}}{2^3\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 5}\cdot 17}-\frac{47\cdot \color{green}{ 2^3}}{\color{green}{ 2^3}\cdot 3\cdot 5\cdot 17}=\frac{97\cdot 3\cdot 5-47\cdot 2^3}{ 2^3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 }{\small .}\)


Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:

\(\displaystyle \frac{97\cdot 3\cdot 5-47\cdot 2^3}{ 2^3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 17 }=\frac{1455-376}{ 2040 }=\frac{ 1079}{ 2040 }{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1079}{2040}{\small .}\)