Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Вычитание дробей с использованием наименьшего общего знаменателя (разложение на множители)

Задание

Найдите разность дробей (в ответе запишите дробь, у которой  знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):

\(\displaystyle \frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}\,=\)
 
Решение

В выражении \(\displaystyle \frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.

Воспользуемся определением.

Определение

Наименьший общий знаменатель

Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.

То есть требуется найти наименьшее число (НОК), которое делится на \(\displaystyle 5500\) и \(\displaystyle 1400{\small .}\)

Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 5500\) и \(\displaystyle 1400\) на простые множители.


Разложим на простые множители число \(\displaystyle 5500{\small .}\)

Воспользуемся признаками делимости на \(\displaystyle 2\) и на \(\displaystyle 5{\small .}\) Последовательно получаем:

\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750\)

\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot 1375\)

\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375=2\cdot 2\cdot 5\cdot275\)

\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot 55\)

\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot 55=2^2\cdot 5^3\cdot11\)

Так как число \(\displaystyle 11\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 5500\) на простые множители завершено. 

В итоге имеем:

\(\displaystyle \begin{aligned}5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375=2\cdot 2\cdot 5\cdot275=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 55=\\\end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\cdot 11=2^2\cdot 5^3 \cdot 11{\small .}\end{aligned}\)


Разложим на простые множители число \(\displaystyle 1400{\small .}\) Воспользуемся признаками делимости на \(\displaystyle 2\) и на \(\displaystyle 5{\small .}\)

Последовательно получаем:

\(\displaystyle 1400=2\cdot 700\)

\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350\)

\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175\)

\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 35\)

\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 35=2^3\cdot 5^2\cdot 7\)

Так как число \(\displaystyle 7\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 1400\) на простые множители завершено. 

В итоге имеем:

\(\displaystyle \begin{aligned}1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5\cdot 35=\\\end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 7 = 2^3\cdot 5^2\cdot 7{\small .}\end{aligned}\)

Получили разность дробей:

\(\displaystyle \frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot11}-\frac{3}{2^3\cdot5^2\cdot7}{\small .}\)


Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 5500\) и \(\displaystyle 1400{\small .}\)

\(\displaystyle НОК(5500, 1400)=НОК(2^2\cdot5^3\cdot11,2^3\cdot5^2\cdot7)=2^3\cdot5^3\cdot7\cdot11{\small .}\)

Следовательно, \(\displaystyle 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{23}{5500}\) и \(\displaystyle \frac{3}{1400}{\small .}\)

 

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11{\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{23}{5500}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot 11} \longrightarrow \frac{23\cdot \color{blue}{ 2}\cdot \color{blue}{ 7}}{2^2\cdot \color{blue}{ 2}\cdot 5^3\cdot\color{blue}{ 7}\cdot 11}{ \small ,}\\[10px]\frac{3}{1400}=\frac{3}{2^3\cdot 5^2\cdot 7 } \longrightarrow \frac{3\cdot \color{green}{ 5}\cdot \color{green}{ 11}}{2^3\cdot 5^2\cdot\color{green}{ 5}\cdot 7\cdot \color{green}{ 11}}{\small .}\end{aligned}\)

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot 11} -\frac{3}{2^3\cdot 5^2\cdot 7 }=\\[10px] \end{aligned}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}=\frac{23\cdot \color{blue}{ 2}\cdot \color{blue}{ 7}}{2^2\cdot \color{blue}{ 2}\cdot 5^3\cdot\color{blue}{ 7}\cdot 11}-\frac{3\cdot \color{green}{ 5}\cdot \color{green}{ 11}}{2^3\cdot 5^2\cdot\color{green}{ 5}\cdot 7\cdot \color{green}{ 11}}=\frac{23\cdot 2\cdot 7-3\cdot 5\cdot11}{ 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11 }{\small .}\end{aligned}\)


Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:

\(\displaystyle \frac{23\cdot 2\cdot 7-3\cdot 5\cdot11}{ 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11 }=\frac{322-165}{ 77000 }=\frac{ 157}{ 77000 }{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle \frac{157}{77000}{\small .}\)