В саду собрали \(\displaystyle 20\) кг ягод, из которых \(\displaystyle 15\%\) малина, а остальное – крыжовник. После того, как некоторое количество крыжовника использовали для приготовления варенья, в оставшихся ягодах доля малины составила \(\displaystyle 60\%\). Сколько всего килограммов ягод осталось после приготовления варенья?
кг
Пусть после приготовления варенья осталось \(\displaystyle x\) кг ягод. Тогда можно записать следующую пропорцию:
| \(\displaystyle 15\%\) малины | в \(\displaystyle 20\) кг ягод, | |
| \(\displaystyle 60\%\) малины | в \(\displaystyle x\) кг ягод. |
Здесь соотносятся величины: \(\displaystyle {\rm A}\) – общий вес ягод и \(\displaystyle {\rm B}\%\) – процент малины в этих ягодах.
Признак обратной пропорциональности для задач с процентами
Величины \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\) обратно пропорциональны, если доля, равная \(\displaystyle {\rm B}\%\) от числа \(\displaystyle {\rm A}\), остается постоянной.
Другими словами, \(\displaystyle \frac{{\rm A}\cdot {\rm B}}{100}\) является постоянным числом при любых изменениях величин \(\displaystyle {\rm A}\) и \(\displaystyle {\rm B}\%\).
По условию задачи, \(\displaystyle 15\%\) от \(\displaystyle 20\) килограмм ягод равно массе малины в исходном весе ягод. В свою очередь, \(\displaystyle 60\%\) от \(\displaystyle x\) килограмм ягод тоже равно массе малины в новом весе ягод. И поскольку масса малины в общем весе ягод не меняется, то, по признаку обратной пропорциональности, данные величины обратно пропорциональны.
Также можно использовать определение обратной пропорциональности. Данные величины обратно пропорциональны, так как при уменьшении общего веса ягод в несколько раз (за счет крыжовника, из которого приготовили варенье) процентная доля малины в нем увеличивается во столько же раз (так как, по условию, содержание малины в ягодах не изменяется).
Обратная пропорциональная зависимость
Пусть дана обратная пропорциональная зависимость:
\(\displaystyle a\) \(\displaystyle b\),
\(\displaystyle c\) \(\displaystyle d\).
Тогда можно записать следующее равенство:
\(\displaystyle a \cdot b=c \cdot d\).
Тогда получаем уравнение:
\(\displaystyle 15\cdot 20=60\cdot x\);
\(\displaystyle x=\frac{15 \cdot 20}{60}=5\).
Ответ: \(\displaystyle 5\) кг ягод.