Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Произведение и частное в целой степени

Задание

Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,b\) представьте выражение в виде дроби с числителем и знаменателем в натуральной степени:

\(\displaystyle \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{-4}=\)

 

Решение

Правило

Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, b\) и целого \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{{\bf-}n}=\biggl(\frac{b}{a}\biggr)^{n}.\)

Согласно правилу,

\(\displaystyle \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{-4}=\biggl(\frac{b}{a}\biggr)^{4}.\)

Возведем дробь в степень:

\(\displaystyle \biggl(\frac{b}{a}\biggr)^{4}=\frac{b^{\, 4}}{a^{\, 4}}.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{b^{\, 4}}{a^{\, 4}}.\)
 

Замечание / комментарий

Согласно определению отрицательной степени,

\(\displaystyle \biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{-4}=\frac{\phantom{14}1\phantom{14}}{\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{4}}.\)

Возведем дробь в знаменателе в четвертую степень:

\(\displaystyle \frac{\phantom{14}1\phantom{14}}{\biggl(\frac{a}{b}\biggr)^{4}}=\frac{\phantom{14}1\phantom{14}}{\frac{a^{\, 4}}{b^{\, 4}}}.\)

Заменим главную черту дроби на знак деления и выполним само деление:

\(\displaystyle \frac{\phantom{14}1\phantom{14}}{\frac{a^{\, 4}}{b^{\, 4}}}=1:\frac{a^{\, 4}}{b^{\, 4}}=1\cdot \frac{b^{\, 4}}{a^{\, 4}}=\frac{b^{\, 4}}{a^{\, 4}}.\)