Тогда \(\displaystyle n!\) – произведение чисел от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle n\small,\) а \(\displaystyle (n+1)!\) – произведение чисел от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle n+1{\small:}\)

\(\displaystyle n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\small,\)

\(\displaystyle (n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n+1)\small.\)

Подставляя, получаем:

\(\displaystyle \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n+1)}\small.\)

Сократим числитель и знаменатель на произведение чисел от \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle n{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{\cancel{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}}{\cancel{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}\cdot (n+1)}=\frac{1}{(n+1)}\small.\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n+1)}=\frac{1}{(n+1)}\small.\)