Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle 16{\small.}\) Известно, что длины его сторон – натуральные числа. Какие из утверждений являются истинными высказываниями?
По условию задачи дан прямоугольник, длины сторон которого равны \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small,}\) причём
\(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) – натуральные числа и, допустим, \(\displaystyle a \ge b{\small.}\)
 | Периметр прямоугольника равен \(\displaystyle 16{\small.}\) Значит, \(\displaystyle 2 \cdot (a+b)=16{\small,}\) \(\displaystyle a+b=8{\small.}\) |
Рассмотрим данные в условии утверждения и определим истинность каждого.
По условию задачи про длины \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) сторон прямоугольника известно, что:
- \(\displaystyle a+b=8{\small,}\)
- \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) – натуральные числа,
- \(\displaystyle a\ge b{\small.}\)
Выпишем все допустимые значения \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b{\small:}\)
| \(\displaystyle a\) | \(\displaystyle b\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 2\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 3\) |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4\) |
По таблице видим, что во всех возможных случаях ни одна из сторон прямоугольника не больше, чем \(\displaystyle 7{\small.}\)
Утверждение "Длина хотя бы одной из сторон данного прямоугольника больше, чем \(\displaystyle 7\)" является ложным высказыванием.
В данном утверждении словосочетание "не больше" можно заменить словами "меньше или равна". То есть в утверждении говорится, что площадь этого прямоугольника меньше или равна \(\displaystyle 16{\small.}\)
Выпишем все допустимые по условию задачи длины сторон прямоугольника и для каждого случая:
- вычислим площадь прямоугольника по формуле \(\displaystyle S=a \cdot b {\small,}\)
- проверим выполнение условия \(\displaystyle S \le 16{\small.}\)
| \(\displaystyle a\) | \(\displaystyle b\) | \(\displaystyle S=a \cdot b\) | условие \(\displaystyle S \le 16\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 7<16\) – верно |
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 12<16\) – верно |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 15\) | \(\displaystyle 15<16\) – верно |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 16=16\) – верно |
По таблице видим, что во всех возможных случаях площадь данного прямоугольника меньше или равна \(\displaystyle 16{\small.}\)
Утверждение "Площадь этого прямоугольника не больше, чем \(\displaystyle 16\)" является истинным высказыванием.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
По условию про длины сторон прямоугольника известно, что \(\displaystyle a+b=8{\small.}\)
Тогда:
- если \(\displaystyle a=b=4{\small,}\) то этот прямоугольник является квадратом,
- если \(\displaystyle a{ }\cancel=b{\small,}\) например, \(\displaystyle a=7{\small,}\) \(\displaystyle b=1{\small,}\) то этот прямоугольник не является квадратом.
То есть не всегда этот прямоугольник является квадратом.
Значит, утверждение "Этот прямоугольник является квадратом" не является истинным высказыванием.
Выпишем все допустимые по условию задачи длины сторон прямоугольника и для каждого случая:
- вычислим площадь прямоугольника по формуле \(\displaystyle S=a \cdot b {\small,}\)
- проверим выполнение условия \(\displaystyle S>6{\small.}\)
| \(\displaystyle a\) | \(\displaystyle b\) | \(\displaystyle S=a \cdot b\) | условие \(\displaystyle S >6\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 7>6\) – верно |
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 12\) | \(\displaystyle 12>6\) – верно |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 15\) | \(\displaystyle 15>6\) – верно |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 16\) | \(\displaystyle 16>6\) – верно |
По таблице видим, что во всех возможных случаях площадь данного прямоугольника больше, чем \(\displaystyle 6{\small.}\)
Утверждение "Площадь этого прямоугольника больше, чем \(\displaystyle 6\)" является истинным высказыванием.
| Ответ: |  |