Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Решение систем двух нелинейных уравнений методом сложения

Задание

Решите методом алгебраических преобразований систему уравнений: 

\(\displaystyle \begin{cases}x^2+y^2=20 {\small,}\\xy=8{\small.}\end{cases} \)

Решением системы уравнений являются пары чисел (введите только необходимое количество различных решений, последние поля ввода оставьте пустыми, если потребуется):

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\)\(\displaystyle ){\small,}\)

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\)\(\displaystyle ){\small,}\)

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\)\(\displaystyle ){\small,}\)

\(\displaystyle (\)\(\displaystyle {\small;}\)\(\displaystyle ){\small.}\)

Решение

Решим систему уравнений методом алгебраических преобразований:

\(\displaystyle \begin{cases}x^2+y^2=20 {\small,}\\xy=8{\small.}\end{cases} \)

Заметим, что первое уравнение содержит сумму квадратов переменных, а второе – произведение этих же переменных.

Сумма квадратов и удвоенное произведение переменных входят в формулы квадрата суммы и разности.

Правило

Квадрат суммы и разности

Для любых чисел \(\displaystyle a \) и \(\displaystyle b\) верно

\(\displaystyle (a+b\,)^2=a^{\, 2}+2ab+b^{\, 2}{\small,}\)

\(\displaystyle (a-b\,)^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}{\small.}\)

Умножим второе уравнение системы на \(\displaystyle 2{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{cases}x^2+y^2=20 {\small,}\\\ \ \ \ 2xy=16{\small,}\end{cases} \)

а затем найдем сумму и разность уравнений системы:

\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{blue}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------------}}}{\color{blue}{+}\begin{cases}\ x^2+y^2=20{\small,}\\\ \ \ \ 2xy\ \ \ =16\\\end{cases}}\\x^2+2xy+y^2=36{\small ,\ \ \ \ \ } \\(x+y)^2=36{\small;\ \ \ \ \ }\end{aligned}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{blue}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------------}}}{\color{blue}{-}\begin{cases}\ x^2+y^2=20{\small,}\\\ \ \ \ 2xy\ \ \ =16\\\end{cases}}\\x^2-2xy+y^2=4{\small ,\ \ \ \ \ } \\(x-y)^2=4{\small .\ \ \ \ \ }\end{aligned}\)

Заменим полученными уравнениями уравнения исходной системы:

\(\displaystyle \begin{cases}(x+y)^2=36 {\small,}\\(x-y)^2=4{\small.}\end{cases} \)

Так как

  • уравнение \(\displaystyle (x+y)^2=36\) распадается на два линейных уравнения

\(\displaystyle x+y=6\) или \(\displaystyle x-y=-6{\small;}\) 

  • уравнение \(\displaystyle (x-y)^2=4\) распадается на два линейных уравнения

\(\displaystyle x-y=2\) или \(\displaystyle x-y=-2{\small,}\) 

то последняя система распадается на четыре системы линейных уравнений:

\(\displaystyle \begin{cases}x+y=6 {\small,}\\x-y=2{\small;}\end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases}x+y=6 {\small,}\\x-y=-2{\small;}\end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases}x+y=-6 {\small,}\\x-y=2{\small;}\end{cases} \)

\(\displaystyle \begin{cases}x+y=-6 {\small,}\\x-y=-2{\small.}\end{cases} \)

Решив полученные системы линейных уравнений, найдём четыре решения исходной системы:

\(\displaystyle (\color{blue}{4};\color{blue}{2}) {\small,}\, (\color{red}{2};\color{red}{4}) {\small,} \, (\color{green}{-2};\color{green}{-4}) {\small,} \,(\color{orange}{-4};\color{orange}{-2}) {\small.}\)


Таким образом, исходная система имеет четыре пары решений:   

\(\displaystyle (\color{blue}{4};\color{blue}{2}) {\small,}\, (\color{red}{2};\color{red}{4}) {\small,} \, (\color{green}{-2};\color{green}{-4}) {\small,} \,(\color{orange}{-4};\color{orange}{-2}) {\small.}\)


Ответ: \(\displaystyle (4;2) {\small,}\, (2;4) {\small,} \, (-2;-4) {\small,} \,(-4;-2) {\small.}\)