Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Моделирование решения задач с помощью множеств (короткая версия)

Задание

Ученики школы сдавали нормативы комплекса ГТО. Испытания проходили по трём видам нормативов: бегу на \(\displaystyle 60\) м, прыжкам в длину с места и метанию мяча.

Каждый из учеников проходил испытание хотя бы по одному виду, некоторые проходили испытания по двум видам, а \(\displaystyle 8\) учеников сдавали нормативы по трём видам.  

Известно, что испытания по бегу проходили \(\displaystyle 54\) человека, по прыжкам  – \(\displaystyle 49\) человек, по метанию мяча  – \(\displaystyle 51\) человек.

Из числа тех, кто проходил испытание по бегу, \(\displaystyle 19\) человек сдавали нормативы по прыжкам, а \(\displaystyle 15\) человек – по метанию мяча.

Из числа тех, кто проходил испытание по прыжкам, \(\displaystyle 13\) человек сдавали нормативы по метанию мяча.

Сколько учеников сдавали нормативы комплекса ГТО?

  чел.

Решение

Обозначим буквой \(\displaystyle B\) множество учеников класса, которые проходили испытания по бегу на \(\displaystyle 60\) м, буквой \(\displaystyle P\) –  множество учеников, которые проходили испытания по прыжкам в длину с места, а буквой \(\displaystyle M\) –  множество учеников, которые проходили испытания по метанию мяча. 

Тогда:

  • пересечением множеств \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle P\)\(\displaystyle (B \cap P)\) является множество учеников, которые проходили испытания по бегу и прыжкам;
  • пересечением множеств \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle M\)\(\displaystyle (B \cap M)\) является множество учеников, которые проходили испытания по бегу и метанию мяча;
  • пересечением множеств \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle M\)\(\displaystyle (P \cap M)\) является множество учеников, которые проходили испытания по прыжкам и метанию мяча;
  • пересечением трёх множеств  – \(\displaystyle B \small,\) \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle M\)\(\displaystyle (B \cap P \cap M)\small,\) является множество учеников, которые проходили испытания по трем видам (бегу, прыжкам и метанию мяча).

Пересечение множеств (определение).

Каждый ученик, сдававший нормативы, является элементом одного либо нескольких множеств, поэтому он может учитываться один либо несколько раз. 

Множеству \(\displaystyle \color{magenta}B\) принадлежат \(\displaystyle \color{magenta}{54}\) элемента, множеству \(\displaystyle \color{green}P\) – \(\displaystyle \color{green}{49}\) элементов, а множеству \(\displaystyle \color{brown}M\) – \(\displaystyle \color{brown}{51}\) элемент.

Множеству \(\displaystyle B \cap P\) принадлежат \(\displaystyle \color{blue}{19}\) элементов, множеству \(\displaystyle B \cap M\) – \(\displaystyle \color{blue}{15}\) элементов, множеству \(\displaystyle P \cap M\) – \(\displaystyle \color{blue}{13}\) элементов.

Множеству \(\displaystyle B \cap P \cap M\) принадлежат \(\displaystyle \color{red}8\) элементов.

Соотношение между указанными множествами можно изобразить с помощью диаграммы Эйлера:

 

 

Нормативы комплекса ГТО сдавали \(\displaystyle 115\) учеников.

Ответ: \(\displaystyle 115\small.\)