\(\displaystyle A \color{magenta}\cup B=\;?\)

Чтобы найти объединение множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.  

Возьмем все элементы множества \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}\color{blue}6{\small;} \; \color{blue}8\end{Bmatrix}\) –  это числа \(\displaystyle \color{blue}{6}\) и \(\displaystyle \color{blue}{8}\small.\)

Добавим к ним элементы множества \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}\color{red}2{\small;} \; \color{blue}6\end{Bmatrix}\small,\) которые не принадлежат множеству \(\displaystyle A\small.\)  Это число \(\displaystyle \color{red}{2}\small.\)

Получаем набор чисел, являющихся элементами множества \(\displaystyle A \cup B\small:\)\(\displaystyle \color{blue}{6}{\small;}\;\color{blue}{8}{\small;} \; \color{red}{2}\small. \)

Запишем множество \(\displaystyle A \cup B\) перечислением его элементов, для наглядности расположив их в порядке возрастания:

\(\displaystyle A \cup B=\begin{Bmatrix}\color{red}{2}{\small;}\;\color{blue}{6}{\small;}\;\color{blue}{8}\end{Bmatrix}\small.\)

\(\displaystyle (A \cup B) \color{magenta}\cap C=\;?\)

Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle A \cup B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам. 

Множеству \(\displaystyle A \cup B=\begin{Bmatrix} 2{\small;} \; 6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}{2}{\small;} \; \color{black}6{\small;} \; \color{red}8 \small.\)

Множеству \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}2{\small;} \; \color{red}8{\small .}\)

Видим, что числа \(\displaystyle \color{red}{2}\) и \(\displaystyle \color{red}8\) принадлежат обоим множествам.

Значит, они (и только они) образуют пересечение множеств \(\displaystyle A \cup B\) и \(\displaystyle C\small: \) 

\(\displaystyle (A \cup B) \cap C=\{\color{red}2{\small;} \; \color{red}8\}\small.\)

\(\displaystyle A \color{magenta}\cap C=\;?\)

Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам. 

Множеству \(\displaystyle A=\begin{Bmatrix}6{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{black}{6}{\small;} \; \color{red}8\small.\)

Множеству \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{black}2{\small;} \; \color{red}8{\small .}\)

Видим, что число \(\displaystyle \color{red}8\) принадлежит обоим множествам.

Значит, оно (и только оно) образует пересечение множеств \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\small: \) 

\(\displaystyle A \cap C=\{\color{red}8\}\small.\)

\(\displaystyle B \color{magenta}\cap C=\;?\)

Чтобы найти пересечение множеств \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые одновременно принадлежат обоим множествам. 

Множеству \(\displaystyle B=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 6\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}{2}{\small;} \; \color{black}6\small.\)

Множеству \(\displaystyle C=\begin{Bmatrix}2{\small;} \; 8\end{Bmatrix}\) принадлежат числа \(\displaystyle \color{red}2{\small;} \; \color{black}8{\small .}\)

Видим, что число \(\displaystyle \color{red}2\) принадлежит обоим множествам.

Значит, оно (и только оно) образует пересечение множеств \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\small:\) 

\(\displaystyle B \cap C=\{\color{red}2\}\small.\)

\(\displaystyle (A \cap C) \color{magenta}\cup (B \cap C)=\;?\)

Чтобы найти объединение множеств \(\displaystyle A \cap C=\begin{Bmatrix}8\end{Bmatrix}\) и \(\displaystyle B \cap C=\begin{Bmatrix}2\end{Bmatrix}\small,\) нужно выбрать элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств.  

Возьмем все элементы множества \(\displaystyle A \cap C=\begin{Bmatrix}\color{blue}8\end{Bmatrix}\) –  это число \(\displaystyle \color{blue}{8}\small.\)

Добавим к ним элементы множества \(\displaystyle B \cap C=\begin{Bmatrix}\color{red}2\end{Bmatrix}\small,\) которые не принадлежат множеству \(\displaystyle A\small.\) Это число \(\displaystyle \color{red}{2}\small. \)

Получаем набор чисел, являющихся элементами множества \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)\small:\)\(\displaystyle \color{blue}{8}{\small;} \; \color{red}{2}\small. \)

Запишем множество \(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)\) перечислением его элементов, для наглядности расположив их в порядке возрастания:

\(\displaystyle (A \cap C) \cup (B \cap C)=\begin{Bmatrix}\color{red}{2}{\small;}\;\color{blue}{8}\end{Bmatrix}\small.\)