Найдите вероятность того, что точка с координатой \(\displaystyle x{\small,}\) случайно выбранная из отрезка \(\displaystyle [1;\,5]{\small,}\) принадлежит отрезку \(\displaystyle [2;\,4]\small.\)
Геометрическое определение вероятности на прямой
Пусть отрезок \(\displaystyle MN\) содержится в отрезке \(\displaystyle AB{\small.}\)
Из отрезка \(\displaystyle AB\) производится случайный выбор точки.
Тогда вероятность \(\displaystyle P\) того, что выбранная точка принадлежит отрезку \(\displaystyle MN{\small ,}\) равна отношению длин отрезков \(\displaystyle MN{\small }\) и \(\displaystyle AB{\small:}\)
\(\displaystyle P=\frac{\,\,\color{red}{MN}}{\,\,\color{blue}{AB}}{\small.}\)
Отрезок \(\displaystyle [2;\,4]\) содержится в отрезке \(\displaystyle [1;\,5]{\small.}\)
Значит, вероятность \(\displaystyle P\) того, что случайная точка с координатой \(\displaystyle x\) отрезка \(\displaystyle [1;\,5]\) окажется на отрезке \(\displaystyle [2;\,4]{\small,}\) равна отношению длин этих отрезков:
\(\displaystyle P=\frac{\small{длина}\,\, \color {red}{[2;\,4]}}{\small{длина}\,\, \color {blue}{[1;\,5]}}{\small.}\)
Длина отрезка \(\displaystyle \color {blue}{[1;\,5]}\) равна \(\displaystyle 5-1=\color {blue}{4}\small,\) длина отрезка \(\displaystyle \color {red}{[2;\,4]}\) равна \(\displaystyle 4-2=\color {red}{2}\small.\)
Тогда
\(\displaystyle P=\frac{\color {red}{2}}{\color {blue}{4}}=0{,}5\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}5\small.\)