Пусть

• \(\displaystyle O_1\) и \(\displaystyle O_2\) – центры окружностей радиусов \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 5\) соответственно;
• \(\displaystyle K\) – точка пересечения касательных \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD{\small.}\)

Проведём радиусы окружностей в точки касания.

По свойству касательной радиусы \(\displaystyle O_1A\) и \(\displaystyle O_2B\) перпендикулярны касательной \(\displaystyle AB{\small;}\) радиусы \(\displaystyle O_1C\) и \(\displaystyle O_2D\) перпендикулярны касательной \(\displaystyle CD{\small.}\)

Рассмотрим четырёхугольник \(\displaystyle O_1AKC{\small.}\)

\(\displaystyle \angle A=\angle K=\angle C=90^{\circ}{\small,}\) значит, \(\displaystyle O_1AKC\) – прямоугольник. \(\displaystyle O_1A=O_1C=3{\small,}\) значит, \(\displaystyle O_1AKC\) – квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle AK=CK=3{\small.}\)

Рассмотрим четырёхугольник \(\displaystyle O_2BKD{\small.}\)

\(\displaystyle \angle B=\angle K=\angle D=90^{\circ}{\small,}\) значит, \(\displaystyle O_2BKD\) – прямоугольник. \(\displaystyle O_2B=O_2D=5{\small,}\) значит, \(\displaystyle O_2BKD\) – квадрат.

Следовательно,

\(\displaystyle BK=DK=5{\small.}\)

• Точка \(\displaystyle K\) лежит на отрезке \(\displaystyle AB{\small,}\) значит,

\(\displaystyle AB=AK+BK=3+5=8{\small.}\)

• Точка \(\displaystyle K\) лежит на отрезке \(\displaystyle CD{\small,}\) значит,

\(\displaystyle CD=CK+DK=3+5=8{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle AB=8{\small;}\)    \(\displaystyle CD=8{\small.}\)