Две окружности радиусов \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 9\) касаются одной прямой в точках \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) соответственно, а также друг друга внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается первых двух окружностей и прямой \(\displaystyle AB\) в точке \(\displaystyle C{\small.}\) Известно, что точка \(\displaystyle A\) лежит между точками \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small.}\)
Пусть
- \(\displaystyle O_1\) и \(\displaystyle O_2\) – центры окружностей радиусов \(\displaystyle 4\) и \(\displaystyle 9\) соответственно,
\(\displaystyle K\) – точка касания этих окружностей;
- \(\displaystyle O\) – центр третьей окружности радиуса \(\displaystyle \color{red}{R}{\small,}\)
\(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – точки касания третьей окружности с первыми двумя.
Точка \(\displaystyle K\) лежит на отрезке \(\displaystyle O_1O_2{\small.}\)
Точка \(\displaystyle M\) лежит на отрезке \(\displaystyle OO_1{\small.}\)
Точка \(\displaystyle N\) лежит на отрезке \(\displaystyle OO_2{\small.}\)
\(\displaystyle O_1O_2=13{\small.}\)
\(\displaystyle OO_1=\color{red}{R}+4{\small.}\)
\(\displaystyle OO_2=\color{red}{R}+9{\small.}\)
Проведём радиусы окружностей в точки \(\displaystyle A{\small,}\) \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small.}\)
- По свойству касательной радиусы \(\displaystyle O_1A{\small,}\) \(\displaystyle O_2B\) и \(\displaystyle OC\) перпендикулярны прямой \(\displaystyle AB{\small.}\)
Выполним дополнительное построение.
Через центр \(\displaystyle O_1\) первой окружности проведём прямую параллельную общей касательной \(\displaystyle AB{\small.}\) Пусть она пересекает радиус \(\displaystyle O_2B\) в точке \(\displaystyle H{\small.}\)
 | Четырёхугольник \(\displaystyle AO_1HB\) является прямоугольником. Значит,
|
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle O_1O_2H{\small:}\)
 | По теореме Пифагора \(\displaystyle O_1O_2^2=O_1H^2+O_2H^2{\small.}\) Тогда \(\displaystyle O_1H^2=O_1O_2^2-O_2H^2{\small.}\) Подставим \(\displaystyle O_1O_2=13{\small,}\) \(\displaystyle O_2H=5{\small:}\) \(\displaystyle O_1H^2=13^2-5^2=169-25=144{\small.}\) |
Так как длина отрезка неотрицательна, то \(\displaystyle O_1H=12{\small.}\)
Следовательно,
\(\displaystyle AB=12{\small.}\)
Выполним дополнительное построение.
Через центр \(\displaystyle O_1\) первой окружности проведём прямую параллельную общей касательной \(\displaystyle AB{\small.}\) Пусть она пересекает радиус \(\displaystyle OC\) в точке \(\displaystyle P{\small.}\)
 | Четырёхугольник \(\displaystyle AO_1PC\) является прямоугольником. Значит,
|
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle O_1OP{\small:}\)
 | По теореме Пифагора \(\displaystyle OO_1^2=O_1P^2+OP^2{\small.}\) Тогда \(\displaystyle O_1P^2=OO_1^2-OP^2{\small.}\) Подставим \(\displaystyle OO_1=\color{red}{R}+4{\small,}\) \(\displaystyle OP=\color{red}{R}-4{\small:}\) \(\displaystyle\begin{aligned}O_1P^2=&(\color{red}{R}+4)^2-(\color{red}{R}-4)^2=\\=\color{red}{R}^2\ +&\ 8\color{red}{R}+16-\color{red}{R}^2+8\color{red}{R}-16=16\color{red}{R}{\small.}\end{aligned}\) Значит, \(\displaystyle O_1P=4\sqrt{\color{red}{R}}{\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle AC=4\sqrt{\color{red}{R}}{\small.}\) |
Выполним дополнительное построение.
Через центр \(\displaystyle O_2\) второй окружности проведём прямую параллельную общей касательной \(\displaystyle AB{\small.}\) Пусть она пересекает радиус \(\displaystyle OC\) в точке \(\displaystyle F{\small.}\)
 | Четырёхугольник \(\displaystyle BO_2FC\) является прямоугольником. Значит,
|
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\displaystyle O_2OF{\small:}\)
 | По теореме Пифагора \(\displaystyle OO_2^2=O_2F^2+OF^2{\small.}\) Тогда \(\displaystyle O_2F^2=OO_2^2-OF^2{\small.}\) Подставим \(\displaystyle OO_2=\color{red}{R}+9{\small,}\) \(\displaystyle OF=\color{red}{R}-9{\small:}\) \(\displaystyle\begin{aligned}O_2F^2=&(\color{red}{R}+9)^2-(\color{red}{R}-9)^2=\\=\color{red}{R}^2\ +&\ 18\color{red}{R}+81-\color{red}{R}^2+18\color{red}{R}-81=36\color{red}{R}{\small.}\end{aligned}\) Значит, \(\displaystyle O_2F=6\sqrt{\color{red}{R}}{\small.}\) Следовательно, \(\displaystyle BC=6\sqrt{\color{red}{R}}{\small.}\) |
Так как точка \(\displaystyle A\) лежит на прямой \(\displaystyle AB\) между точками \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C{\small,}\) то
\(\displaystyle BC=AB+AC{\small.}\)
Подставим \(\displaystyle BC=6\sqrt{\color{red}{R}}{\small,}\) \(\displaystyle AB=12{\small,}\) \(\displaystyle AC=4\sqrt{\color{red}{R}}{\small:}\)
\(\displaystyle 6\sqrt{\color{red}{R}}=12+4\sqrt{\color{red}{R}}{\small;}\)
\(\displaystyle 2\sqrt{\color{red}{R}}=12{\small;}\)
\(\displaystyle \sqrt{\color{red}{R}}=6{\small;}\)
\(\displaystyle \color{red}{R}=36{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 36{\small.}\)