На зачёте по физике учитель предлагает ученикам выбрать на столе \(\displaystyle 5\) вопросов (все листы с вопросами выглядят одинаково и лежат текстом вниз). К приходу Вовы на столе осталось \(\displaystyle 10\) вопросов: шесть по теме "Динамика" и четыре по теме "Кинематика".
Какова вероятность того, что Вове достанутся три вопроса по теме "Динамика" и два по теме "Кинематика"?
Выбор вопросов – это случайный опыт, который заключается в выборе пяти листов из десяти оставшихся на столе.
Рассмотрим событие
- \(\displaystyle A\)– Вове достались три вопроса по теме "Динамика" и два по теме "Кинематика".
Сначала найдём число всех элементарных событий.
Затем найдём число элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A{\small .}\)
Событию \(\displaystyle A\) благоприятствуют элементарные события, в которых три из выбранных вопросов будут по теме "Динамика" и два – по теме "Кинематика".
Воспользуемся правилом умножения.
Правило умножения
Если элемент \(\displaystyle \bf A \) можно выбрать \(\displaystyle \color{blue}{ m} \) способами, элемент \(\displaystyle \bf B \) можно выбрать \(\displaystyle \color{green}{ n} \) способами после любого выбора элемента \(\displaystyle \bf A\small, \) то пару элементов \(\displaystyle \bf A \) и \(\displaystyle \bf B \) можно выбрать
\(\displaystyle \color{blue}{ m}\cdot \color{green}{ n} \) способами.
Это правило распространяется на любое число элементов.
1. Число способов выбрать три вопроса по теме "Динамика" из шести оставшихся на столе равно числу способов, которыми можно выбрать ровно \(\displaystyle \color{blue}{3}\) элемента из множества, в котором содержится \(\displaystyle \color{orange}{6}\) элементов.
Число таких способов равно числу сочетаний из \(\displaystyle \color{orange}{6}\) по \(\displaystyle \color{blue}{3}\small.\)
Подставляя в формулу
\(\displaystyle C_\color{orange}{n}^{\color{blue}{k}}=\frac{\color{orange}{n}!}{\color{blue}{k}!(\color{orange}{n}-\color{blue}{k})!}\)
\(\displaystyle \color{orange}{n}=\color{orange}{6}\) и \(\displaystyle \color{blue}{k}=\color{blue}{3} \small, \)получаем:
\(\displaystyle C_\color{orange}{6}^{\color{blue}{3}}=\frac{\color{orange}{6}!}{\color{blue}{3}!(\color{orange}{6}-\color{blue}{3})!}=\frac{6!}{3! \cdot 3!}=\frac{4 \cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3}=\color{magenta}{20} \small.\)
2. Число способов выбрать два вопроса по теме "Кинематика" из четырёх оставшихся на столе равно числу способов, которыми можно выбрать ровно \(\displaystyle \color{blue}{2}\) элемента из множества, в котором содержится \(\displaystyle \color{orange}{4}\) элемента.
Число таких способов равно числу сочетаний из \(\displaystyle \color{orange}{4}\) по \(\displaystyle \color{blue}{2}\small.\)
Подставляя в формулу
\(\displaystyle C_\color{orange}{n}^{\color{blue}{k}}=\frac{\color{orange}{n}!}{\color{blue}{k}!(\color{orange}{n}-\color{blue}{k})!}\)
\(\displaystyle \color{orange}{n}=\color{orange}{4}\) и \(\displaystyle \color{blue}{k}=\color{blue}{2} \small, \)получаем:
\(\displaystyle C_\color{orange}{4}^{\color{blue}{2}}=\frac{\color{orange}{4}!}{\color{blue}{2}!(\color{orange}{4}-\color{blue}{2})!}=\frac{4!}{2! \cdot 2!}=\frac{3 \cdot 4}{2}=\color{magenta}{6} \small.\)
3. Значит, событию \(\displaystyle A\) благоприятствует
\(\displaystyle \color{magenta}{20} \cdot \color{magenta}{6}=\color{red}{120}\) элементарных событий.
Найдём вероятность \(\displaystyle P(A)\) наступления события \(\displaystyle A\) как отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию \(\displaystyle A\small,\) к общему числу элементарных событий:
\(\displaystyle P(A)=\frac{\color{red}{120}}{\color{green}{252}}=\frac {10}{21}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{10}{21}{\small .}\)