Известно, что \(\displaystyle 7<a<11{\small }\) и \(\displaystyle a>0{\small .}\) Оцените значение выражения \(\displaystyle -\frac{1}{a}{\small .}\)
Двойное неравенство \(\displaystyle 7<a<11\) означает, что верны неравенства
\(\displaystyle 7<a\) и \(\displaystyle a<11{\small.}\)
Кроме того, \(\displaystyle a>0{\small }\) по условию, и \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 11\)– положительные числа.
Значит, для каждого из неравенств \(\displaystyle 7<a\) и \(\displaystyle a<11{\small}\) можем воспользоваться правилом:
Пусть \(\displaystyle a{\small }\) и \(\displaystyle b{\small }\)– положительные числа. Тогда
если \(\displaystyle a<b{\small ,}\) то \(\displaystyle \frac{1}{a}>\frac{1}{b}{\small ;}\)
если \(\displaystyle a>b{\small ,}\) то \(\displaystyle \frac{1}{a}<\frac{1}{b}{\small .}\)
- Из неравенства \(\displaystyle 7<a\) получаем, что \(\displaystyle \frac{1}{7}>\frac{1}{a}{\small .}\)
- Из неравенства \(\displaystyle a<11\) получаем, что \(\displaystyle \frac{1}{a}>\frac{1}{11}{\small .}\)
Поскольку требуется оценить значение выражения \(\displaystyle -\frac{1}{a}{\small}\)– умножим обе части каждого из полученных неравенств на \(\displaystyle (-1){\small.}\)
При этом знак каждого из неравенств изменится на противоположный:
| \(\displaystyle \frac{1}{7}>\frac{1}{a}\,\,\bigg| \cdot \color{Blue}{(-1)} <0{\small ,}\) | \(\displaystyle \frac{1}{a}>\frac{1}{11}\,\,\bigg| \cdot \color{Blue}{(-1)} <0{\small ,}\) |
\(\displaystyle \\-\frac{1}{7}<-\frac{1}{a}{\small .}\) | \(\displaystyle \\-\frac{1}{a}<-\frac{1}{11}{\small .}\) |
Так как одновременно выполнены неравенства \(\displaystyle -\frac{1}{7}<-\frac{1}{a}\) и \(\displaystyle -\frac{1}{a}<-\frac{1}{11}{\small,}\) можем записать двойное неравенство
\(\displaystyle -\frac{1}{7}<-\frac{1}{a}<-\frac{1}{11}{\small.}\)
Те же преобразования можно было сразу проделать с двойным неравенством \(\displaystyle 7<a<11{\small .}\)
\(\displaystyle 7<a<11{\small ,}\)
\(\displaystyle \frac{1}{7}>\frac{1}{a}>\frac{1}{11}{\small,}\)
Умножая все части неравенства на \(\displaystyle {(-1)}<0{\small ,}\) получаем:
\(\displaystyle -\frac{1}{7}<-\frac{1}{a}<-\frac{1}{11}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle -\frac{1}{7}<-\frac{1}{a}<-\frac{1}{11}{\small.}\)