Известно, что \(\displaystyle 2<a<7\) и \(\displaystyle 5<b<9{\small .}\) Оцените значение выражения \(\displaystyle ab{\small .}\)
Заметим, что
- двойное неравенство \(\displaystyle 2<a<7\) означает, что верны неравенства
\(\displaystyle 2<a\) и \(\displaystyle a<7{\small;}\)
- двойное неравенство \(\displaystyle 5<b<9\) означает, что верны неравенства
\(\displaystyle 5<b\) и \(\displaystyle b<9{\small.}\)
Так как из неравенств \(\displaystyle 2<a<7\) и \(\displaystyle 5<b<9\) следует, что \(\displaystyle a>0\) и \(\displaystyle b>0{\small,}\)
\(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------}}}{\color{red}{\times}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{2}&<\color{blue}{a}{\small}\\\color{orange}{5}&<\color{blue}{b}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{2}\cdot \color{orange}{5}<\color{blue}{a}\cdot\color{blue}{b}{\small,} {\small\ \ \ \ \ \ } \\10<ab{\small;} {\small\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
| \(\displaystyle\begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \text{ ---------------------------------}}}{\color{red}{\times}\begin{aligned}\,\, \color{blue}{a}&<\color{green}{7}{\small}\\\color{blue}{b}&<\color{green}{9}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{blue}{a}\cdot\color{blue}{b}<\color{green}{7}\cdot\color{green}{9}{\small,}{\small\ \ \ \ \ \ } \\ab<63{\small.} {\small\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{aligned}\) |
Так как одновременно выполнены неравенства \(\displaystyle 10<ab\) и \(\displaystyle ab<63{\small,}\) можем записать двойное неравенство
\(\displaystyle 10<ab<63{\small.}\)
Можно умножать почленно и двойные неравенства, все части которых положительны:
\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ --------------------------------------}}}{\color{red}{\times}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{2}<\color{blue}{a}&<\color{green}{7}{\small}\\\color{orange}{5}<\color{blue}{b}&<\color{green}{9}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{2}\cdot\color{orange}{5}<\color{blue}{a}\cdot\color{blue}{b}<\color{green}{7}\cdot\color{green}{9}{\small,} \\10<ab<63 {\small. \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle 10<ab<63{\small.}\)