Зная, что \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 5<b<6{\small, }\) оценим значение выражения \(\displaystyle 2ab+1{\small.}\)

Оценим последовательно значения выражений \(\displaystyle ab{\small, }\,2ab {\small }\) и \(\displaystyle 2ab+1{\small.}\)

Заметим:

• все числа в неравенствах \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 5<b<6{\small }\) положительны,
• неравенства одного знака.

Значит, можем почленно перемножить эти неравенства:

\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ --------------------------------------}}}{{\times}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{1}<{a}&<\color{green}{2}{\small}\\\color{orange}{5}<{b}&<\color{green}{6}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{1}\cdot\color{orange}{5}<{a}\cdot{b}<\color{green}{2}\cdot\color{green}{6}{\small,} \\5<{ab}<12 {\small. \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)

Умножим все части полученного неравенства на \(\displaystyle \color{Blue}{2>0}{\small :}\)

 \(\displaystyle \color{Blue}{2}\cdot 5<\color{Blue}{2}\cdot ab<\color{Blue}{2}\cdot 12{\small ,}\)

 \(\displaystyle 10<\color{Blue}{2}ab<24{\small .}\)

Теперь ко всем частям полученного неравенства прибавим \(\displaystyle \blue{1}{\small:}\)

\(\displaystyle 10+\blue{1}<\color{Blue}{2}ab+\blue{1}<24+\blue{1}{\small,}\)

\(\displaystyle 11<\color{Blue}{2}ab+\blue{1}<25{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 11<{2}ab+{1}<25{\small.}\)