Зная, что \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 5<b<6{\small, }\) оценим значение выражения \(\displaystyle 1-2ab{\small.}\)
 

Запишем выражение \(\displaystyle 1-2ab\) в виде \(\displaystyle -2ab+1{\small.}\)

Оценим последовательно значения выражений \(\displaystyle ab{\small, }\,-2ab {\small}\) и \(\displaystyle -2ab+1{\small.}\)

Заметим:

• все числа в неравенствах \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 5<b<6{\small }\) положительны,
• неравенства одного знака.

Значит, можем почленно перемножить эти неравенства:

\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ --------------------------------------}}}{{\times}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{1}<{a}&<\color{green}{2}{\small}\\\color{orange}{5}<{b}&<\color{green}{6}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{1}\cdot\color{orange}{5}<{a}\cdot{b}<\color{green}{2}\cdot\color{green}{6}{\small,} \\5<{ab}<12 {\small. \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)

Умножим все части полученного неравенства на \(\displaystyle \color{Blue}{-2<0}{\small,}\) изменив знаки неравенств на противоположные:

 \(\displaystyle \color{Blue}{-2}\cdot 5>\color{Blue}{-2}\cdot ab>\color{Blue}{-2}\cdot 12{\small ,}\)

 \(\displaystyle -10>\color{Blue}{-2}ab>-24{\small .}\)

Перепишем неравенство в виде:

 \(\displaystyle -24<\color{Blue}{-2}ab<-10{\small .}\)

Теперь ко всем частям полученного неравенства прибавим \(\displaystyle \blue{1}{\small:}\)

\(\displaystyle -24+\blue{1}<\color{Blue}{-2}ab+\blue{1}<-10+\blue{1}{\small,}\)

\(\displaystyle -23<\color{Blue}{-2}ab+\blue{1}<-9{\small.}\)

Окончательно имеем:

\(\displaystyle -23<1-2ab<-9{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle -23<1-2ab<-9{\small.}\)