Зная, что \(\displaystyle 2<a<7{\small, }\) оценим значение выражения \(\displaystyle a^2+5{\small.}\)

Оценим сначала значение выражения \(\displaystyle a^2{\small,}\) потом значение выражения \(\displaystyle a^2+5{\small.}\)

Поскольку все числа в неравенстве \(\displaystyle 2<a<7\) положительны, то можем почленно перемножить неравенства \(\displaystyle 2<a<7\) и \(\displaystyle 2<a<7{\small.}\)

Получим:

\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ --------------------------------------}}}{\color{red}{\times}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{2}<{a}&<\color{green}{7}{\small}\\\color{orange}{2}<{a}&<\color{green}{7}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{2}\cdot\color{orange}{2}<{a}\cdot{a}<\color{green}{7}\cdot\color{green}{7}{\small,}\ \\4<a^2<49 {\small. \ \ \ \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)

Теперь ко всем частям полученного неравенства прибавим \(\displaystyle \blue{5}{\small:}\)

\(\displaystyle 4+\blue{5}<a^2+\blue{5}<49+\blue{5}{\small,}\)

\(\displaystyle 9<a^2+5<54{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 9<a^2<54{\small.}\)