Зная, что \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 3<b<6{\small, }\) оценим значение выражения \(\displaystyle \frac{1}{ab}{\small .}\)
 

• Оценим сначала значение произведения \(\displaystyle ab{\small, }\)
   
• потом оценим значение выражения \(\displaystyle \frac{1}{ab}{\small ,}\) обратного к \(\displaystyle ab{\small. }\)

Чтобы оценить значение произведения \(\displaystyle ab{\small, }\) почленно перемножим неравенства \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 3<b<6{\small.}\)

Это можно сделать, так как

• все числа в этих неравенствах положительны,
• неравенства одного знака.

Получаем:

\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ --------------------------------------}}}{\color{red}{\times}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{1}<\color{blue}{a}&<\color{green}{2}{\small}\\\color{orange}{3}<\color{blue}{b}&<\color{green}{6}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{1}\cdot\color{orange}{3}<\color{blue}{a}\cdot\color{blue}{b}<\color{green}{2}\cdot\color{green}{6}{\small,} \\3<ab<12 {\small. \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)

\(\displaystyle \frac{1}{3}>\frac{1}{ab}>\frac{1}{12}{\small.}\)

Располагая числа в порядке возрастания, получаем ответ:

\(\displaystyle \frac{1}{12}<\frac{1}{ab}<\frac{1}{3}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{12}<\frac{1}{ab}<\frac{1}{3}{\small.}\)