Чтобы сравнить \(\displaystyle 6xy\) и \(\displaystyle \frac{4x^2+9y^2}{2} {\small ,}\) воспользуемся неравенством
 

\(\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}\geqslant ab {\small ,}\)

которое верно для любых чисел \(\displaystyle a {\small ,}\,\,b {\small .}\)

Подставим в это неравенство

\(\displaystyle a=2x{\small ;}\,\,b=3y{\small .}\) 

Получим верное неравенство:

\(\displaystyle \frac{(2x)^2+(3y)^2}{2}\geqslant 2x \cdot 3y {\small ,}\)
 

\(\displaystyle \frac{4x^2+9y^2}{2}\geqslant 6xy {\small .}\) 

То есть

\(\displaystyle 6xy\leqslant \frac{4x^2+9y^2}{2} {\small .}\) 

Ответ: \(\displaystyle 6xy\leqslant \frac{4x^2+9y^2}{2} {\small .}\)