Запишите уравнение параболы, полученной из параболы \(\displaystyle y=x^2\) её сжатием вдоль оси \(\displaystyle \rm OY\) в \(\displaystyle 8\) раз.
\(\displaystyle y=\)
Воспользуемся определением.
График функции
Графиком функции \(\displaystyle y=\color{blue}{f(x)}\) на плоскости называется множество точек
\(\displaystyle \{(x;\, \color{blue}{f(x)}) \}{\small ,}\)
где \(\displaystyle x\) принадлежит области определения функции.
Графиком функции \(\displaystyle y=x^2\) является множество точек вида \(\displaystyle \{(x;\, x^2) \}\) для всех действительных чисел \(\displaystyle x{\small .}\)
При сжатии графика функции \(\displaystyle y=f(x)\) в \(\displaystyle \textbf{\textit{k}}\) раз к оси \(\displaystyle \textbf{\textit{Ox}}\) (вдоль оси \(\displaystyle Oy\)) при \(\displaystyle k>1\) расстояние каждой точки исходного графика до оси \(\displaystyle Ox\) уменьшают в \(\displaystyle k\) раз (умножают ординату точки на \(\displaystyle \frac{1}{k}\) или делят на \(\displaystyle k\)).
Значит, для сжатия графика функции \(\displaystyle y=x^2\) в \(\displaystyle \color{blue}{8}\) раз нужно взять каждую точку из множества точек \(\displaystyle \{(x;\, x^2) \}\) и разделить её ординату на \(\displaystyle \color{blue}{8}{\small .}\)
Если ординату точки \(\displaystyle (x;\, x^2)\) разделить на \(\displaystyle \color{blue}{8}{\small , }\) то получится точка с координатами
\(\displaystyle (x;\, x^2 :\color{blue}{8})=\left(x;\, \frac{1}{\color{blue}{8} } \cdot x^2 \right ){\small . }\)
Проделывая такую же операцию с каждой точкой вида \(\displaystyle (x;\,x^2) { \small ,}\) получаем множество точек \(\displaystyle \left\{\left(x;\, \frac{1}{\color{blue}{8} } x^2 \right ) \right\}{ \small .}\)
Очевидно, что полученное множество точек является графиком функции \(\displaystyle y=\frac{1}{\color{blue}{8}}x^2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle y=\frac{1}{8}x^2{\small .}\)