Запишите уравнение параболы, полученной из параболы \(\displaystyle y=x^2\) её растяжением вдоль оси \(\displaystyle \rm OY\) в \(\displaystyle \frac{7}{4}\) раза.
\(\displaystyle y=\)
Воспользуемся определением.
График функции
Графиком функции \(\displaystyle y=\color{blue}{f(x)}\) на плоскости называется множество точек
\(\displaystyle \{(x;\, \color{blue}{f(x)}) \}{\small ,}\)
где \(\displaystyle x\) принадлежит области определения функции.
Графиком функции \(\displaystyle y=x^2\) является множество точек вида \(\displaystyle \{(x;\, x^2) \}\) для всех действительных чисел \(\displaystyle x{\small .}\)
При растяжении графика функции \(\displaystyle y=f(x)\) в \(\displaystyle \textbf{\textit{k}}\) раз от оси \(\displaystyle \textbf{\textit{Ox}}\) (вдоль оси \(\displaystyle Oy\)) при \(\displaystyle k>1\) расстояние каждой точки исходного графика до оси \(\displaystyle Ox\) увеличивают в \(\displaystyle k\) раз (умножают ординату точки на \(\displaystyle k\)).
\(\displaystyle \color{blue}{\frac{7}{4}}>1{\small .}\)
Значит, для растяжения графика функции \(\displaystyle y=x^2\) в \(\displaystyle \color{blue}{\frac{7}{4}}\) раза нужно взять каждую точку из множества точек \(\displaystyle \{(x;\, x^2) \}\) и умножить её ординату на \(\displaystyle \color{blue}{\frac{7}{4}}{\small .}\)
Если ординату точки \(\displaystyle (x;\, x^2)\) увеличить в \(\displaystyle \color{blue}{\frac{7}{4}}\) раза, то получится точка с координатами \(\displaystyle \left (x;\, \color{blue}{\frac{7}{4}} \cdot x^2 \right ){\small . }\)
Проделывая такую же операцию с каждой точкой вида \(\displaystyle (x;\,x^2) { \small ,}\) получаем множество точек \(\displaystyle \left \{\left(x;\, \color{blue}{\frac{7}{4}} \cdot x^2 \right ) \right \}{ \small .}\)
Очевидно, что полученное множество точек является графиком функции \(\displaystyle y=\color{blue}{\frac{7}{4}}x^2{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle y=\frac{7}{4}x^2{\small .}\)