Представим функцию \(\displaystyle y=\color{green}{\frac{2}{x}}+\color{orange}{2-4x} \) как сумму двух функций:
\(\displaystyle y=\color{green}{f(x)}+\color{orange}{g(x)} {\small ,}\)
где \(\displaystyle \color{green}{f(x)}=\color{green}{\frac{2}{x}}{\small ,}\) \(\displaystyle \color{orange}{g(x)}=\color{orange}{2-4x}{\small .}\)
Определим характер монотонности каждой из функций.
Функция \(\displaystyle f(x)=\color{green}{\frac{2}{x}}\) убывает на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
ПравилоЗнак коэффициента \(\displaystyle \small k\) и монотонность функции \(\displaystyle {\small y=\frac{k}{x}}\)
Обратная пропорциональность, то есть функция \(\displaystyle y=\frac{k}{x}\ \small ,\) на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small}\)
- при \(\displaystyle k>0 \small \) убывает;
- при \(\displaystyle k<0 \small \) возрастает.
У функции \(\displaystyle f(x)=\frac{\color{red}{2}}{x}\) коэффициент \(\displaystyle k=\color{red}{2}>0 {\small .}\)
Значит, функция убывает на каждом из промежутков \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
Линейная функция \(\displaystyle g(x)=\color{orange}{2-4x}\) убывает на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
ПравилоЗнак коэффициента \(\displaystyle \small k\) и монотонность линейной функции \(\displaystyle \small y=kx+b\)
- если \(\displaystyle k>0 \small ,\) то функция \(\displaystyle y=kx+b\) возрастает;
- если \(\displaystyle k=0 \small ,\) то функция \(\displaystyle y=kx+b\) постоянна;
- если \(\displaystyle k<0 \small ,\) то функция \(\displaystyle y=kx+b\) убывает.
У линейной функции \(\displaystyle g(x)=2\color{red}{-4}x\) коэффициент \(\displaystyle k=\color{red}{-4}<0 {\small .}\)
Значит, функция убывает при любых значениях переменной, в том числе, и на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small .}\)
По свойству
СвойствоЕсли функции \(\displaystyle f(x)\) и \(\displaystyle g(x)\) возрастают (убывают) на множестве \(\displaystyle X {\small ,}\) то функция \(\displaystyle y=f(x)+g(x)\) возрастает (убывает) на множестве \(\displaystyle X {\small .}\)
получаем, что функция \(\displaystyle y=\color{green}{\frac{2}{x}}+\color{orange}{2-4x} \) убывает на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small }\) как сумма двух убывающих на этом промежутке функций.
Ответ: Функция убывает.
