Функция \(\displaystyle y=\sqrt x\) является возрастающей.
Определите характер монотонности функции
\(\displaystyle y=3x+1+\sqrt x \)
Функция является .
Функция \(\displaystyle y=3x+1+\sqrt x\) определена на \(\displaystyle [0;+\infty) {\small .}\)
Представим функцию \(\displaystyle y=\color{orange}{3x+1}+\color{green}{\sqrt x} \) как сумму двух функций:
\(\displaystyle y=\color{orange}{f(x)}+\color{green}{g(x)} {\small ,}\)
где \(\displaystyle \color{orange}{f(x)}=\color{orange}{3x+1}{\small ,}\) \(\displaystyle \color{green}{g(x)}=\color{green}{{\sqrt x}}{\small .}\)
По условию функция \(\displaystyle g(x)=\color{green}{{\sqrt x}}\) возрастает на на \(\displaystyle [0;+\infty) {\small .}\)
Определим характер монотонности функции \(\displaystyle f(x){\small .}\)
По свойству
Если функции \(\displaystyle f(x)\) и \(\displaystyle g(x)\) возрастают (убывают) на множестве \(\displaystyle X {\small ,}\) то функция \(\displaystyle y=f(x)+g(x)\) возрастает (убывает) на множестве \(\displaystyle X {\small .}\)
получаем, что функция \(\displaystyle y=\color{orange}{3x+1}+\color{green}{\sqrt x} \) возрастает на \(\displaystyle [0;+\infty) \) как сумма двух возрастающих на этом промежутке функций.
Значит, функция \(\displaystyle y=\color{orange}{3x+1}+\color{green}{\sqrt x} \) возрастает на всей области определения, то есть является возрастающей.
Ответ: Функция является возрастающей.