Для функции
\(\displaystyle f(x)=7x-4 {\small }\)
составьте верные утверждения:
При любых \(\displaystyle x_2>x_1{\small}\) выполнено неравенство \(\displaystyle f(x_2)\) \(\displaystyle f(x_1){\small.}\)
Функция \(\displaystyle f(x)=7x-4 {\small }\) является .
Функция \(\displaystyle f(x)=7x-4\) определена для всех действительных значений переменной.
По условию \(\displaystyle x_2>x_1{\small .}\)
Сравним значения \(\displaystyle f(x_2)\) и \(\displaystyle f(x_1){\small.}\)
Для этого определим знак разности \(\displaystyle f(x_2)-f(x_1) {\small:}\)
\(\displaystyle\begin{aligned}f(x_2)-f(x_1) &=(7x_2-4)-(7x_1-4)=7x_2-4-7x_1+4=\\&=7x_2-7x_1=7(x_2-x_1){\small.}\end{aligned}\)
По условию \(\displaystyle x_2>x_1{\small.}\) Перенесём \(\displaystyle x_1\) в левую часть неравенства и получим
\(\displaystyle x_2-x_1>0{\small.}\)
Так как \(\displaystyle 7>0{\small}\) и \(\displaystyle x_2-x_1>0{\small,}\) то
\(\displaystyle 7(x_2-x_1)>0 {\small.}\)
То есть
\(\displaystyle f(x_2)-f(x_1)= 7(x_2-x_1)>0{\small}\)
или
\(\displaystyle f(x_2)-f(x_1)>0{\small ,}\)
откуда
\(\displaystyle f(x_2)>f(x_1){\small .}\)
Таким образом, верное утверждение:
При любых \(\displaystyle x_2 \color{blue}{>}x_1{\small}\) выполнено неравенство\(\displaystyle f(x_2)\color{blue}{>}f(x_1){\small .}\)
Вспомним определение:
Функция \(\displaystyle f(x)\) называется возрастающей (убывающей) на множестве \(\displaystyle X {\small,}\) если для любых двух значения аргумента \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) множества \(\displaystyle X {\small,}\) таких, что \(\displaystyle x_2\,\color{blue}{\textbf>}\,x_1{\small,}\) выполняется неравенство \(\displaystyle f(x_2) \,\color{blue}{\textbf>}\,f(x_1) \) \(\displaystyle \left( f(x_2)\,\color{red}{\textbf<}\,f(x_1) \right ){\small.}\)
Таким образом, функция \(\displaystyle f(x)=7x-4\) возрастает на всей области определения.
Если на всей области определения функция \(\displaystyle f(x)\) возрастает (убывает) , то её называют возрастающей (убывающей) функцией.
Значит, верно утверждение:
Функция \(\displaystyle f(x)=7x-4 {\small }\) является возрастающей.
| Ответ: | При любых \(\displaystyle x_2 >x_1{\small}\) верно неравенство \(\displaystyle f(x_2)>f(x_1){\small .}\) |
| Функция \(\displaystyle f(x)=7x-4 {\small }\) является возрастающей. |