Функция \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{x} \) определена на промежутках \(\displaystyle (-\infty;0)\) и \(\displaystyle (0;+\infty){\small.}\)

По условию \(\displaystyle x_2>x_1>0{\small ,}\) то есть рассматриваем функцию на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small.}\)

Сравним значения \(\displaystyle f(x_2)\) и \(\displaystyle f(x_1){\small.}\)

Для этого определим знак разности \(\displaystyle f(x_2)-f(x_1) {\small:}\)

\(\displaystyle\begin{aligned}f(x_2)-f(x_1) &=\frac{2}{x_2} -\frac{2}{x_1} =\frac{2x_1-2x_2}{x_1 \cdot x_2}=\frac{2(x_1-x_2)}{x_1 \cdot x_2}{\small.}\end{aligned}\)

По условию \(\displaystyle x_2>x_1{\small.}\) Перепишем в виде \(\displaystyle x_1<x_2{\small}\) и перенесём \(\displaystyle x_2\) в левую часть неравенства:

\(\displaystyle x_1-x_2<0{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 2>0{\small,}\) а \(\displaystyle x_1-x_2<0{\small,}\) то

\(\displaystyle \color{blue}{2(x_1-x_2)}<0 {\small.}\)

По условию \(\displaystyle x_1>0\) и \(\displaystyle x_2>0{\small.}\) Значит \(\displaystyle \color{green}{x_1 \cdot x_2}>0{\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=\frac{\color{blue}{2(x_1-x_2)}}{\color{green}{x_1 \cdot x_2}}<0{\small.}\)

Получили 

\(\displaystyle f(x_2)-f(x_1)<0{\small ,}\)

откуда

\(\displaystyle f(x_2)<f(x_1){\small .}\)
 

Таким образом, верное утверждение:

При любых \(\displaystyle x_2 \color{blue}{>}x_1>0{\small}\) выполнено неравенство \(\displaystyle f(x_2)\color{red}{<}f(x_1){\small .}\)

Вспомним определение:

Значит, функция \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{x}\) убывает при \(\displaystyle x>0\), то есть на промежутке \(\displaystyle (0;+\infty){\small.}\)