Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Гомотетия с положительным и отрицательным коэффициентами

Задание

У треугольника \(\displaystyle ABC\) отметили середины сторон и получили треугольник \(\displaystyle A_1B_1C_1\small.\)

При гомотетии с центром в точке \(\displaystyle O\) и коэффициетом \(\displaystyle k\) треугольник \(\displaystyle ABC\) переходит в треугольник \(\displaystyle A_1B_1C_1\small.\)


Что можно сказать про точку \(\displaystyle O?\)


Найдите \(\displaystyle k{\small:}\)

\(\displaystyle k=\)
-\frac{1}{2}
Решение

Найдем центр гомотетии.

При гомотетии параллельные прямые переходят в параллельные прямые.

Тогда при гомотетии стороны должны переходить:

  • \(\displaystyle AB\) в \(\displaystyle A_1B_1\small,\)
  • \(\displaystyle BC\) в \(\displaystyle B_1C_1\small,\)
  • \(\displaystyle CA\) в \(\displaystyle C_1A_1\small.\)

Соответственно, вершины должны переходить:

\(\displaystyle A\) в \(\displaystyle A_1,\) \(\displaystyle B\) в \(\displaystyle B_1\) и \(\displaystyle C\) в \(\displaystyle C_1\small.\)


Проведем прямые \(\displaystyle AA_1\small,\) \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle CC_1\small.\) Центр гомотетии \(\displaystyle O\) лежит на этих прямых.


Отрезки \(\displaystyle AA_1\small,\) \(\displaystyle BB_1\) и \(\displaystyle CC_1\) – медианы треугольника \(\displaystyle ABC\small.\) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Значит, \(\displaystyle O\) – точка пересечения медиан треугольника \(\displaystyle ABC\small.\)

Определим коэффициент гомотетии.

Поскольку точка \(\displaystyle O\) лежит между \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle A_1\small,\) то гомотетия имеет отрицательный коэффициент.

Медианы делятся точкой пересечения два к одному.

То есть

\(\displaystyle \frac{OA_1}{OA}=\frac{1}{2}\)

и коэффициент гомотетии \(\displaystyle k=-\frac{1}{2}\small.\)