Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Гомотетия с положительным и отрицательным коэффициентами

Задание

При гомотетии с центром в точке \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k=-1{,}5{\small:}\)

  • точка \(\displaystyle A\) переходит в точку \(\displaystyle A_1\small,\)
  • точка \(\displaystyle B\) переходит в точку \(\displaystyle B_1\small.\)

Что можно сказать про прямые \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle A_1B_1\small?\)


Найдите отношение отрезков:

\(\displaystyle \frac{OC_1}{OC}=\)
1,5


Какой вывод можно сделать?

Решение

Покажем, что прямые \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle A_1B_1\) параллельны.

При гомотетии с центром в точке \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k=-1{,}5{\small:}\)

  • точка \(\displaystyle A\) переходит в точку \(\displaystyle A_1\small,\)
  • точка \(\displaystyle B\) переходит в точку \(\displaystyle B_1\small.\)


Тогда

  • \(\displaystyle OA_1=(-k)\cdot OA\small,\)
  • \(\displaystyle OB_1=(-k)\cdot OB\small.\)


Значит, треугольники \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle A_1OB_1\) подобны:

\(\displaystyle \begin{cases}\angle AOB=\angle A_1OB_1,\\[5px]\dfrac{A_1O}{AO}=\dfrac{B_1O}{BO}=|k|\small.\end{cases}\)

Тогда \(\displaystyle \angle OAB=\angle OA_1B_1\small.\) То есть прямые \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle A_1B_1\) параллельны, так как накрест лежащие углы равны.

 

Найдем отношение отрезков:

\(\displaystyle \frac{OC_1}{OC}=\left|k\right|=1{,}5\small.\)

Треугольники \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle A_1OC_1\) подобны:

\(\displaystyle \begin{cases}\angle AOC=\angle A_1OC_1,\\\angle OAC=\angle OA_1C_1,\small.\end{cases}\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{OC_1}{OC}=\frac{OA_1}{OA}=|k|=1{,}5\small.\)

Получаем:

  • точка \(\displaystyle C_1\) лежит на продолжении луча \(\displaystyle OC\small,\)
  • \(\displaystyle OC_1=(-k)\cdot OC\small.\)

Значит, при гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k\) точка \(\displaystyle C\) переходит в точку \(\displaystyle C_1\small.\)

Замечание / комментарий

Отметим, что в процессе решения мы получили свойства гомотетии:

Информация

Если при гомотетии концы одного отрезка переходят в концы другого, то и весь первый отрезок переходит во второй.

Информация

При гомотетии прямая переходит либо в себя, либо в параллельную прямую.