Разложим на множители многочлен
\(\displaystyle x^2+8x+12 {\small.}\)
Сначала одночлен \(\displaystyle 8x\) представим в виде суммы двух слагаемых. Потом раскроем скобки, сгруппируем четыре слагаемых по двум парам, разложим каждую из двух полученных частей на множители.
Если после этого мы увидим, что первая и вторая части имеют один и тот же множитель, то мы сможем вынести его за скобки.
Попробуем представить \(\displaystyle 8x\) в виде
\(\displaystyle 8x=2x+6x{\small.}\)
Получим
\(\displaystyle x^2+8x+12=x^2+(2x+6x)+12=x^2+2x+6x+12=\)
\(\displaystyle =(x^2+2x)+(6x+12){\small.}\)
Наше выражение
\(\displaystyle \color{blue}{(x^2+2x)}+\color{green}{(6x+12)}\)
можно разбить на две части. И первую часть \(\displaystyle \color{blue}{(x^2+2x)}{\small,}\) и вторую часть \(\displaystyle \color{green}{(6x+12)}\) разложим на множители.
\(\displaystyle x^2+2x=x(x+2){\small.}\)
Найдем в выражении \(\displaystyle x^2+2x\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle x^2\) и \(\displaystyle 2x\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{black}{1};\color{black}{2}){\small.}\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{black}{1};\color{black}{2})=1{\small.}\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x{\small:}\)
- в первом одночлене \(\displaystyle x^{\bf \color{blue}{2}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle \color{blue}2{\small;}\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 2x=2x^{\bf \color{red}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle \color{red}1{\small.}\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \color{red}1}=x{\small.}\)
Значит, в выражении \(\displaystyle x^2+2x\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle x{\small:}\)
\(\displaystyle x^2+2x=x(x+2){\small.}\)
\(\displaystyle 6x+12=6(x+2){\small.}\)
Найдем в выражении \(\displaystyle 6x+12\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle 6x\) и \(\displaystyle 12\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{black}{6};\color{black}{12}){\small.}\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{black}{6};\color{black}{12})=6{\small.}\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle 6x=6x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle \color{blue}1{\small;}\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 12=12x^{\bf \color{red}{0}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle \color{red}0{\small.}\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,\color{red}0}=1{\small.}\)
Значит, в выражении \(\displaystyle 6x+12\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 6x^{\,0}{\small,}\) то есть \(\displaystyle 6{\small:}\)
\(\displaystyle 6x+12=6(x+2){\small.}\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (x^2+2x)+(6x+12)=x(x+2)+6(x+2){\small.}\)
Теперь отметим, что в обеих частях выражения есть один и тот же множитель \(\displaystyle \color{red}{(x+2)}{\small.}\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle x\color{red}{(x+2)}+6\color{red}{(x+2)}=\color{red}{(x+2)} (x+6){\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle (x^2+2x)+(6x+12)=x(x+2)+6(x+2)=(x+2)(x+6){\small.}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle (x+2)(x+6)=0{\small.}\)
ПравилоПроизведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные множители при этом не теряют смысла.
Следовательно,
\(\displaystyle x+2=0\) или \(\displaystyle x+6=0{\small ,}\)
\(\displaystyle x=-2\) или \(\displaystyle x=-6{\small .}\)
Итак, корнями уравнения \(\displaystyle (x+2)(x+6)=0\small\) являются числа \(\displaystyle -2 {\small }\) и \(\displaystyle -6{\small . } \)
Наименьший корень \(\displaystyle -6 {\small , }\) наибольший корень \(\displaystyle -2 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -6 {\small }\) и \(\displaystyle -2{\small . } \)
