Известно, что
\(\displaystyle 5678\equiv 8\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 5600046\equiv3\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
С каким однозначным натуральным числом сравнимо число
\(\displaystyle 5678\cdot 5600046\)
по модулю \(\displaystyle 9\small?\)
Если такого числа нет, то оставьте поле ответа пустым.
\(\displaystyle 5678\cdot 5600046\equiv\)\(\displaystyle \hspace{-2mm}\pmod {9}\)
Воспользуемся свойством \(\displaystyle 3\) сравнений
Свойства сравнений целых чисел по модулю натурального числа
Если \(\displaystyle a\equiv b \hspace{-2mm}\pmod m\small\) и \(\displaystyle c\equiv d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\) то
\(\displaystyle 1)\) \(\displaystyle a+c\equiv b+d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 2)\) \(\displaystyle a-c\equiv b-d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 3)\) \(\displaystyle a\cdot c\equiv b\cdot d \hspace{-2mm}\pmod m\small,\)
\(\displaystyle 4)\) \(\displaystyle a^n\equiv b^n \hspace{-2mm}\pmod m\small\) при любом натуральном \(\displaystyle n\small.\)
Другими словами, сравнения можно почленно складывать, вычитать, перемножать и возводить в степень.
Так как
\(\displaystyle 5678\equiv 8\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 5600046\equiv3\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
то
\(\displaystyle 5678\cdot 5600046\equiv 8\cdot 3\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\)
\(\displaystyle 5678\cdot 5600046\equiv 24\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
Число \(\displaystyle 24\) не является однозначным. Найдем остаток от деления числа \(\displaystyle 24\) на \(\displaystyle 9\small.\)
Поскольку \(\displaystyle 24=2\cdot 9+6\small,\) остаток от деления \(\displaystyle 24\) на \(\displaystyle 9\) равен \(\displaystyle 6\small.\)
Тогда \(\displaystyle 24\equiv 6\hspace{-2mm}\pmod {9}\small,\) \(\displaystyle 5678\cdot 5600046\equiv 6\hspace{-2mm}\pmod {9}\small.\)
Число \(\displaystyle 6\) является однозначным и натуральным.
Ответ: \(\displaystyle 6\small.\)