В треугольнике \(\displaystyle ABC\) равны стороны \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BC\), а величина угла \(\displaystyle BAC\) равна \(\displaystyle 56\degree {\small .}\)
От луча \(\displaystyle AC\) отложен угол величиной \(\displaystyle \alpha\), как это показано на рисунке.
Известно, что с помощью одного из признаков параллельных прямых удалось доказать, что \(\displaystyle AE\,||\,BC{\small .}\)
Какова величина угла \(\displaystyle CAE~{\text ?}\)
\(\displaystyle \alpha=\)\(\displaystyle \degree \)
Для применения признаков параллельных прямых нужны сведения о накрест лежащих, соответственных или односторонних углах при пересечении прямых \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AE\) секущей \(\displaystyle AC\) или \(\displaystyle AB{\small .}\)
Треугольник \(\displaystyle ABC\) является равнобедренным, так как по условию \(\displaystyle AC=BC\).
Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Таким образом \(\displaystyle \angle ABC=\angle BAC=56\degree {\small .}\)
Сумма величин односторонних углов \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle BAE\) складывается из величин углов \(\displaystyle CBA{\small ,\;}BAC\) и \(\displaystyle CAE{\small .}\)
Поскольку вся сумма должна быть равна \(\displaystyle 180\degree ,\) а величины двух из трёх углов известны, находим величину третьего вычитанием:
\(\displaystyle \alpha=\angle CAE=180\degree -\angle ABC-\angle BAC=180\degree -56\degree -56\degree =\)\(\displaystyle 68\degree {\small .}\)
Задача может решаться через подведение данных под любой из признаков параллельных прямых: по накрест лежащим, соответственным углам, величинам односторонних углов.
Однако, решение через признак по величинам односторонних углов единственное, не требующее дополнительных построений на чертеже задачи.
Можно легко проверить, что ответ задачи не зависит от выбора признака.
Ответ: \(\displaystyle \alpha=68\degree {\small .}\)