На клетчатой бумаге изображён четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) При этом вершины \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C\) совпали с точками пересечения линий разметки.
На сторонах четырёхугольника отмечены и обозначены несколько точек, каждая из которых попадает хотя бы на одну из линий разметки.
Перечислите все отмеченные точки, каждая из которых расположена на равных расстояниях от вершин \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle C{\small .}\)
Перпендикулярная отрезку прямая, проведённая через его середину, называется серединным перпендикуляром к отрезку (или серединным перпендикуляром отрезка).
Серединный перпендикуляр является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка.
Это значит, что
- расстояния от любой точки серединного перпендикуляра до концов отрезка равны между собой;
- любая точка, расстояния от которой до концов отрезка одинаковы, принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.
На рисунке отрезок \(\displaystyle AB\) и серединный перпендикуляр к нему \(\displaystyle -\) прямая \(\displaystyle l{\small .}\) Ей принадлежат все точки \(\displaystyle M{\small ,}\) для которых выполнено равенство \(\displaystyle AM=BM{\small .}\) И только такие точки.
Проведём отрезок \(\displaystyle AC\) вдоль горизонтальной линии разметки.
Найдём его середину и проведём вдоль вертикальной линии разметки прямую, проходящую через эту точку.
Поскольку линии разметки перпендикулярны, проведённая прямая является серединным перпендикуляром к отрезку \(\displaystyle AC{\small .}\)
Из отмеченных точек этой прямой принадлежат точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle S{\small .}\) Значит, они обладают требуемым свойством.
Другие отмеченные точки серединному перпендикуляру не принадлежат. Значит, они не обладают требуемым свойством.
Ответ: точки \(\displaystyle N\) и \(\displaystyle S{\small .}\)